§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)

Няхай функцыя f(х) азначаная і непарыўная на прамежку [a,+). Зафіксуем пункт b[a,+). Тады існуе інтэгра Рымана на адрэзку [a,b],

Азначэнне 1. Калі існуе канічны ліміт (1), то ён называецца неўласцівым інтэгралам І роду функцыі f(x) на прамежку [a,+) і абазначаецца (2):

. (3)

Калі ліміт (1) існуе, то неўласцівы інтэграл збягаецца, калі не існуе або роўны , то інтэграл (2) не існуе або разбежны.

Аналагічна азначаецца інтэграл на прамежках ( - ; b] i ( - ; + ):

= + .

Паколькі неўласцівы інтэграл азначаецца праз вызначаны інтэграл, то ён захоўвае ўсе ўласцівасці інтэграла Рымана.

Прыклады.

Заўвага 1. Няхай на прамежку [a,+) азначаная непарыўная неадмоўная функцыя f(х). Разгледзім фігуру, абмежаваную прамой х = а, воссю Ох і графікам функцыі f(х). Зафіксуем пункт b [a,+) . Вядома, што - плошча фігуры Авbа (4). Але S(P) = = .

Геаметрычны сэнс інтэграла (2): калі інтэграл (2) збежны, то фігура (4) квадравальная і яе плошча роўна значэнню інтэграла (2).

Прыклад.

п2. Прыкметы збежнасці неўласцівага інтэграла І роду

Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g непарыўныя на прамежку [a,+) і х[a,+) 0  f(x)  g(x). Тады са збежнасці  збежнасць , а з разбежнасці  разбежнасць .

Прыклад.

Тэарэма 2. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.

Прыклад.

Тэарэма 3(частковая прыкмета параўнання). Калі функцыя f(x) 0 бясконца малая парадку  > 0 па параўнанню з функцыяй 1/x, то збежны пры  > 1 і разбежны пры 0    1.

Прыклад.

П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)

Няхай функцыя f азначана на прамежку (a,b], а на адрэзку [a+,b], дзе 0 <  < b-a, функцыя f інтэгравальная. Пункт х = а будзем называць асаблівым пунктам (особым), калі функцыя f неабмежаваная на прамежку (a,b], а абмежаваная на любым адрэзку [a+,b].

Азначэнне 2. Калі існуе канечны ліміт (5), то ён называецца неўласцівым інтэгралам ІІ рода ад функцыі f(x) і абазначаецца:

(6). У гэтым выпадку інтэграл (6) збежны. Калі ліміт (5) не існуе або роўны , то інтэграл (6) разбежны.

Аналагічна ўводзіцца паняцце неўласцівага інтэграла для выпадкаў:

1. калі x = b – асаблівы пункт, то ;

2. калі х = с - асаблівы пункт, дзе с [a,b], то

= + .

П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду

Тэарэма 4 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g неабмежаваныя ў наваколлі пункта b і х[a,b) 0  f(x)  g(x). Тады са збежнасці  збежнасць , а з разбежнасці  разбежнасць .

Прыклад.

Тэарэма 2. Няхай функцыя f(x) неабмежаваная ў наваколлі пункта b. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.

Прыклад.