Задача № 5

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной заданными линиями; сделать чертеж.

1. у= 4 - х²; у=0. 11. у = 4х - х²; у=0.

2. у = 4х - х²; у = 3. 12. у= 4 - х²; у=-2х+4.

3. х²+у²=4; х= 1. 13. х²+у²=9 ; у=3-х.

4. у= 2- х²/2; у=0. 14. у = 2х - х²; у=0.

5. у=2/х; х= 2; х= 4; у=0. 15. у= 2 - х²; у=2-х.

6. у= х²-1; х= 3; у=0 16. у= 3-2 х²; у=1.

7. у²=4-х; у=0; х=0. 17. у=1/х; х=1; х= 2; у=0.

8. х²+у²=4; у=х+2. 18. х²-у²=1; х= 2.

9. у= 5 - х²; у=1. 19. у²=4-х; у=-х/2+2.

10. у=4/х; у=0; х= 2; х=4. 20. х²-у²=1; х= 2.

Примеры решения задач к контрольной работе № 3

Пример 1. Определить на отрезке [ -3; 3/2] наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ -3x+3.

Решение. Если искомое значение достигается внутри отрезка, то это значение будет одним из экстремумов. Но может случиться, что наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

1) Находим максимумы и минимумы функции на отрезке [ -3;3/2] . Из условия = 0 находим критические точки.

= 3x² -3 =0; x₁ =1; x₂ = -1.

Проверяем достаточное условие = 6х, тогда. (1)=6 >0. Следовательно, в точке х=1 имеет место минимум: у (1) =1. Далее, (-1)= -6< 0.

Следовательно, в точке х= -1 имеет место максимум

у (-1) = 5.

2) Определяем значения функции на концах отрезка:

у (-3)= -15, у (3/2) = 15/8. Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке [-3;3/2] есть

у (-1) = 5, а наименьшее значение - у (-3) = -15.

Пример 2. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около шара данного радиуса R .

Решение. Найдем зависимость объема конуса от его высоты H. Проведем сечение плоскостью, проходящей через высоту конуса BК (Рис. 1).

V= r²H.

Здесь r = AК -радиус основания конуса.

Пусть ABК= . OC AB как радиус, проведенный в точку касания.

Из АВК r=H tg , V= H ³ tg² . Найдем tg² .

Из OBC sin = = , cos² =1- . tg² =

=

V= .

Найдем область определения получнной функции. Так как из геометрического смысла V>0, то Н >2R, то есть функция опрелелена на интервале. Следовательно, функция принимает наименьшее значение во внутренних точках минимума интервала.

Найдем производную = . =0 при H=0, H=4R. Следовательно, при этих значениях Н функция V может иметь экстремум. Найдем вторую производную = . T.к. H >2R , >0 и при H=4R объем конуса будет минимальным.

Пример 3.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра

Решение. Если кривая задана уравнением у = f ( х), то

где α – угол, образованный с положительным направлением оси Ох касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой у = f ( х) в точке имеет вид

.

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

.

Кривая в примере задана параметрически. Найдем ее производную .

При . Найдем значения ., , соответствующие . Получим =0, =0.

Уравнение касательной у=х, уравнение нормали у= −х.

Пример 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f ( х) и, используя результаты исследования, построить ее график

y = x³ / 2 (x+1)²

Решение.Полное исследование функций будем проводить, придерживаясь плана:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва;

3) отметить простейшие свойства (четность, периодичность, пересечение с осями);

4) асимптоты (вертикальные, наклонные);

5) критические точки первого рода (из условия (x)=0 или (x)`- не существует);

6) критические точки второго рода (из условия (x)=0 или (x) не существует);

7) интервалы возрастания и убывания;

8) экстремумы;

9) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

На основании проведенного исследования строится график функции.

1. Найдем область определения функции.

Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким образом, D (y) =(- .

2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).

3. Исследуем функцию на четность или нечетность

Очевидно, что у(-х)  у (х) и у(-х)  -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = 1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой вычислим пределы справа и слева при от функции f(x):

= - ; = - .

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при .

k = 1/2;

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асимптотой при . Те же самые значения пределов для k и b получим и при , поэтому найденная прямая является асимптотой и при .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .

= .

Стационарными точками являются х = 0, х = -3, при которых = 0. Других критических точек, отличных от стационарных, у функции нет. При >0 функция возрастает, при <0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

Точкой, где может менять знак, является точка х = 0, следовательно, х = 0 является точкой перегиба. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.

7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .

x	( )	-3	(−3,−1)	−1	(−1,0)	0	(0,∞)
	+	0	−	Не сущ.	+	0	+
	−		−	Не сущ	−	0	+
у	Возр., вып.	Мах у= =	Убыв., вып.	Не сущ	Возр., вып.	Т. п.	Возр., вогн.

8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 2).

Пример 5 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f ( х) и, используя результаты исследования, построить ее график

1. Найдем область определения функции.

Из области определения логарифма следует

.

Таким образом, D (y) =(- .

2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Так как х = 0 не входит в обдасть определения функции, то точек пересечения с осью Оу нет. Найдем точку пересечения с осью Ох:

Таким образом ( ) – точка пересечения с осью Ох.

3. Исследуем функцию на четность или нечетность

Очевидно, что у(-х)  у (х) и у(-х)  -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты можно искать лишь в виде х = 3 и х=0. Для доказательства, что эти вертикальные прямые будут асимптотами вычислим односторонние пределы при от функции f(x):

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности действительно будут вертикальными асимптотами.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при .

k =

Так как k=0, то наклонных асимптот нет, прямая у= −1 является горизонтальной асимптотой.

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .

= .

0 при любом х из области определения функции; не существует при х = 3 и х=0. Эти точки не входят в область определения функции0. При >0 функция возрастает, при <0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

Точкой, где может менять знак, является точка х =−3/2, которая не входит в область определения функции, следовательно, точек перегиба нет. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.

7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .

x	( )	(0,∞)
	−	−
	−	+
у	Убывает выпуклая.	Убывает, вогнутая.

8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 3).