Расширенная числовая прямая

Расширенная числовая прямая (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть

Бесконечности и , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства

Cледует отличать расширенную числовую прямую от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью . Такая система называется проективной прямой, и обозначается

Билет 5 Ограниченные и неограниченные множества

Множество Е точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество Е называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка , а примером неограниченного множества—множество всех точек с целыми координатами.

Нетрудно видеть, что если а — фиксированная точка на прямой, то множество Е будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки а до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.

Верхняя и нижняя грань множества

Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху числовое множество Е R, называется его верхней гранью и обозначается β = sup E, то есть

1: x E: x ≤ β,

2: ε > 0 x E: x > β - ε.

Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих числовое множество Е R, называется его нижней гранью и обозначается α = inf E, то есть

1: x E: x ≥ α,

2: ε > 0 x E: x < α + ε.

Билет 6 Числовая последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел R , либо множество комплексных чисел C . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры

1. Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

2. Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

3. Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x5 этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N-арная операция f:

Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества Xоперация f будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn + yn.

Разностью числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn − yn.

Произведением числовых последовательностей xn и yn называется числовая последовательность (zn) такая, что .

Частным числовой последовательности xn и числовой последовательности yn, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности yn на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.