18.Нормальное распределение, его график.

Нормальным распределением называется распределение, имеющее плотность вида , где a и - два параметра, а именно a=M(x), . Определение: График нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса)

Рассмотрим , исследуем эту функцию методами дифференциального исчисления. ООФ: ; ОЗФ: E(y) (0, + ). y=0 – горизонтальная асимптота. Точка max – ма (a, ). Точки перегиба (a - , ) и

(a + , ).

Вероятность попадания случайной величины , где функция Ф(х) – функция Лапласа. Часто на практике требуется оценить вероятность того, что модуль отклонения случайной величины не превосходит заданного малого числа .

P(|x-a|< )=? |x-a|< => - <x-a< => a- <x<a+ => P(|x-a|< )=Ф( / )-Ф(- / )

«Правило трёх »: Оно означает, что вероятность того, что модуль отклонения случайной величины Х превзойдёт утроенное среднее квадратическое отклонение равно 0.0027, те такое возможно лишь в 0.27% случаев, и следовательно , по принципу невозможности маловероятных событий, событие |x-a|>3 встречается достаточно редко, те практически невозможно.

19.Осносные понятия мат. статистики. Основная задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

ОПР. Выборкой наз-ся совокупность случайно отобранных объектов. ОПР. Генеральной совокупностью наз-ся совокупность объектов, предназначенных для выборки. ОПР: Объёмом совокупности наз-ся число элементов, входящих в данную группу.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём значение X₁ встречалось n₁ раз, …. значение X_k встречалось n_k раз. Значения X_i ­­называются вариантами, n_i – частота варианта X_i. Тогда , где n – объём выборки. Обозначим через относительную частоту.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот. Под статистическим распределением выборки так же понимают перечень вариант и соотв им относительных частот.Пусть известно статистическое распределение количественного признака X. Введём следующие обозначения: n_x – число наблюдений, при котором наблюдалось значение признака <ч, n – объём выборки. Рассмотрим n_x/n – функция, зависящая от X, она означает относительную частоту события X<x. Так как эта функция получена опытным путём, то она наз-ся эмпирической функцией.ОПР: Эмпирической функцией распределения F^*(x) наз-ся относительная частота события X<x. F^*(x)=n_x/n На ряду с эмпирической функцией распределения существует и теоретическая функция распределения генеральной совокупности F(x). Разница между F^*(x) и F(x) состоит в том, что эмпирическая ф-я распределения есть относительная частота события X<x, а теоретическая ф-я есть вероятность этого события. По теореме Бернулли известно, что при больших n F^*(x) и F(x) различаются незначительно, а значит, что F^*(x) служит для приближённого представления F(x). Свойства F^*(x): 1) 0 F^*(x) 1; 2) F^*(x) – неубывающая функция; 3) Если X_i – наименьшее варианта, то F^*(x) = 0 при x<X_i и F^*(x)=1 при x>X_i. Для наглядности вводят различные графики, в том числе полигоны (при дискретном распределении признака) и гистограммы (при непрерывном распределении признака).

ОПР: Полигоном частот наз-ют ломаную, состоящую из отрезков, соединяющих точки с координатами (x₁,n₁); (x₂,n₂)…В случае непрерывного распределения признака используют гистограмму, для построения которой весь интервал вариант делят на частичные интервалы h и далее вычисляют для каждого интервала частоты n_i, те сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал. Далее определяют плотность частоты как отношение n_i/h.ОПР: Гистограммой частот наз-ют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы h , а высотами – плотности частоты соответствующих интервалов. Площадь i-ого прямоугольника равна n_i, а площадь всей гистограммы равна n. Аналогично определение гистограммы относительных частот.