4.2. Определение функций чувствительности по дифференциальному уравнению
Пусть система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением
Здесь
и
− параметры системы, которые могут
претерпевать вариации.
Для определения чувствительности к отклонению параметра уравнение
(4.4) продифференцируем по параметру :
(4.5)
Обозначим
− функция чувствительности по параметру
.
Тогда уравнение (4.5) примет вид:
(4.6)
Аналогично, для определения чувствительности к отклонению параметра уравнение (4.4) продифференцируем по параметру :
Отсюда можно записать:
(4.7)
где
− функция чувствительности по параметру
.
Уравнения чувствительности (4.6) и (4.7) совпадают по структуре с уравнением (4.4), за исключением правой части.
Поэтому уравнения чувствительности могут быть решены с помощью той же модели или той же программы ЭВМ, которые использовались для решения исходного уравнения.
Схема модели для решения исходного дифференциального уравнения (4.4)
изображена
на рис. 4.1.
Рис. 4.1
Из уравнения чувствительности по параметру (4.6) видно, что для решения уравнения чувствительности необходимо из исходной модели подать на модель чувствительности сигнал − х. Для решения уравнения чувствительности по параметру (4.7) необходимо из модели исходной системы подать на модель чувствительности сигнал – рх.
Схемы для моделирования функций чувствительности по параметрам и показаны на рис. 4.2 и 4.3.
Рис. 4.2
Рис. 4.3
Структурный метод построения моделей чувствительности
Для исследования чувствительности систем автоматического управления разработаны методы, позволяющие строить модели чувствительности непосредственно по структурной схеме исходной системы.
Пусть исследуемая система имеет i – звеньев. Для каждого звена САУ имеем:
,
(4.8)
где
и
− сигналы на входе и выходе i-го
звена,
−
передаточная
функция i-го
звена.
Если
имеется звено с передаточной функцией
,
не зависящей от параметра
,
который может
претерпевать
вариации,
то, дифференцируя уравнение (4.8) по
,
получим:
(4.9)
Сравнивая уравнения (4.8) и (4.9), можно заметить, что линейному элементу с передаточной функцией , не зависящей от параметра в исходной системе, соответствует линейный элемент с той же передаточной функцией в модели чувствительности.
Если в исходной системе имеется звено с передаточной функцией , зависящей от параметра , то, дифференцируя уравнение (4.8) по параметру , получим:
(4.10)
Сравнивая
уравнения (4.10) и (4.8), можно заметить, что
элементу с передаточной функцией
в исходной системе соответствует такой
же элемент с передаточной функцией
в модели чувствительности, но к выходу
последнего надо добавить сигнал, который
получается в результате прохождения
соответствующего входного сигнала
исходной системы через дополнительное
звено с оператором
.
Структуру системы для исследования чувствительности можно представить в виде (рис. 4.4).
Исходная структура Структура чувствительности
Рис. 4.4
В рассмотренном примере только одно звено зависит от параметра . Если звено на схеме рис. 4.4 зависит от нескольких параметров, то функция чувствительности выходной переменной по каждому из них определяется по той же схеме, при этом изменяется лишь оператор звена связи .