26. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми очевидным образом связан с соответствующими соотношениями между направляющими векторами q этих прямых.

. (1)

Угол между плоскостью

(1)

и прямой

(2)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (3)

26. Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

Для того, чтобы две прямые (1) и (2) принадлежали

(1)

(2)

одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

и

были компланарны. Где M₁ и M₂ – точки принадлежащие плоскости.

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

(3)

Плоскость

(1)

Прямая

(2)

Для того, чтобы прямая (2) принадлежала плоскости (1) должны быть выполнены два условия:

3. условие параллельности прямой и плоскости

(3)

4. координаты точки M₁(x₁,y₁,z₁), принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(4)

26. Задача о плоскости п проходящей через прямую l1 параллельно прямой l2

Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

(1)

(2)

Решение.

Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых

и

Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого M(x,y,z) −.произвольная точка пространства, а начальная точка M₁(x₁,y₁,z₁) взята с первой прямой.

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

. (3)

26. Задача о прямой l2 проходящей через точку m0? Перпендикулярно прямой l1 (l1 и l2 пересекаются)

Дана прямая . (1)

Составить уравнение прямой, походящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

Решение.

Нормальный вектор прямой будет направляющим вектором для искомой прямой.

Чтобы «свободная точка» - M (x,y) принадлежала искомой прямой, вектор должен быть параллелен вектору n₁. Условие параллельности векторов:

(2)

есть искомое уравнение в каноническом виде. Умножив (2) на произведение и введя обозначение запишем искомое уравнение в общем виде

. (3)

Условия A₁=0 или B₁=0 означают, что соответствующие числители обращаются в нуль.

Заметим, что в случае перпендикулярности прямых коэффициенты при переменных x и y меняются местами, а у одного из них меняется знак.

26. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Теорема Крамера (доказательство для системы двух уравнений) Случаи =0, . Геометрическая интерпритация.

Система трех линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений следующего вида:

(1)

Здесь x, y и z ­ неизвестные, a_ij, h_i заданные числа. Упорядоченная тройка чисел x₀, y₀ и z₀ называется решением системы (1) если подстановка этих чисел в систему обращает все три уравнения в тождества. Теорема Крамера остается справедливой и для систем третьего и более высоких порядков. (Доказательство см. ниже).

Формулы Крамера для системы (1) приобретают вид,

, (2)

Где,

Если определитель системы уравнений (1) то существует единственное решение системы, определяемое формулами Крамера (2).

Проверка существования решения системы (1) осуществляется подстановкой полученных решений в уравнения системы.

Геометрический смысл: каждое из уравнений системы (1) является уравнением плоскости в пространстве, а три числа x₀, y₀ и z₀, являющиеся решением системы, суть координаты точки пересечения этих плоскостей.

Теорема и Доказательство:

Система уравнений имеет вид,

(1)

Здесь x и y - неизвестные, а коэффициенты a_ij и свободные члены h₁ и h₂ - заданные числа.

Теорема Крамера:

Если определитель системы (1) отличен от нуля, то существует и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (6)

Если определитель системы (1) =0, то система либо вовсе не имеет решений (если хотя бы один из определителей _x или _y отличен от нуля), либо имеет бесконечно много решений (в случае = _x= _y=0).

Решением системы является пара чисел (x₀,y₀), подстановка которых в уравнения системы (1) обращает эти уравнения в тождества.

Умножив первое уравнение на a₂₂, а второе на – a₁₂ и сложив полученные выражения, получим

(2)

Аналогично, умножая уравнения системы на – a₂₁ и a₁₁ и складывая полученные выражения, будем иметь,

(3)

Введем следующие обозначения:

(4)

В новых обозначениях выражения (2) и (3) будут иметь вид:

(5)

Определитель принято называть определителем системы. Из соотношений (5) просто получаются формулы Крамера

(6)

Могут представиться два случая:

1) определитель системы отличен от нуля.

2) определитель равен нулю.

В случае решение системы существует и единственно, так как система уравнений (5) является следствием системы (1).

Формулы (6) позволяют легко найти значения x₀ и y₀.

Рассмотрим случай . Здесь имеют место два подслучая:

а) хотя бы один из определителей _x или _y отличен от нуля,

б) оба определителя _x и _y равны нулю.

В подслучае а) хотя бы одно из равенств (6) не имеет смысла, и система (5), а вместе с ней и система (1) не имеет решений.

В подслучае б) система (1) имеет бесконечно много решений.

В самом деле, из равенства = _x= _y=0 заключаем, что

Это означает, что второе уравнение системы (1) является следствием первого и может быть отброшено. Но линейное уравнение вида a₁₁x+a₁₂y=h₁ имеет бесконечно много решений, так как задав значение x, из уравнения можно найти соответствующее значение y, и таких пар чисел существует бесконечно много.

Геометрический смысл: уравнения системы (1) являются уравнениями прямых на плоскости. Числа x₀ и y₀, определяемые по формулам Крамера (6) при являются координатами точки пересечения этих прямых.

32. Система 3-х однородных уравнений с 3-мя неизвестными. Случаи и .Геометрическая интерпретация.

(1.31)

Очевидно, что эта система всегда имеет тривиальное решение (проверяется подстановкой в уравнения). Когда определитель системы тривиальное решение является единственным

Докажем, что при система имеет бесконечно много решений.

Если все миноры второго порядка в определителе

(1.32)

Равны нулю, то соответствующие коэффициенты в уравнениях системы (1.31) пропорциональны. Следовательно, второе и третье уравнения системы являются следствиями первого и могут быть отброшены, а оставшееся единственное уравнение имеет бесконечно много решений (как отмечалось в предыдущем пункте).

Осталось рассмотреть случай, когда хотя бы один минор второго порядка в определителе (1.32) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что

.

Тогда, как установлено в предыдущем пункте, система первых двух уравнений будет иметь бесконечное множество решений, определяемых формулами (1.30).

Подставим эти решения в третье уравнение и убедимся, что оно обращается в тождество,

= ,

так как определитель системы равен нулю по условию.

Тем самым доказано, что однородная система уравнений (1.31) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.

35)Парабола – определение. Вывод канонического уравнения. Директрисы параболы. Полярное уравнение, графическое изображение.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой точки , именуемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, именуемой директрисой.

Уравнение директрисы

Для вывода уравнения параболы точку поместим на оси

на расстоянии, равном вправо от начала координат, а директрису проведем параллельно оси на таком же расстоянии влево от начала координат (Рис.9.3.)

В соответствии с определением параболы

(9.9)

Подставив и в равенство и возведя во вторую степень левую и правую части равенства, получим:

. (9.10)

После упрощений в выражении (9.10), получим каноническое уравнение параболы:

. (9.11)

Полярное уравнение