19.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями
Условие
перпендикулярности прямой и плоскости.
Прямая и плоскость перпендикулярны
тогда и только тогда, когда направляющий
вектор прямой S
и нормальный вектор n
плоскости коллинеарны, т.е.
.
Условие
параллельности прямой и плоскости.
Прямая и плоскость параллельны тогда
и только тогда, когда векторы S
и n
перпендикулярны.
20 Кривые второго порядка
Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:
Аx2 + 2Вxy + Сy2 + 2Dx + 2Еy + F = 0,
где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.
Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
-
эллипс,
-
гипербола,
px
- парабола.
Эллипс
– геометрическое множество точек
плоскости, сумма расстояний от которых
до двух точек
и
,
называемых фокусами, есть величина
постоянная 2a,
большая, чем расстояние между фокусами
2c:
.
Э
|
ллипс, заданный каноническим уравнением:
симметричен
относительно осей координат. Параметры
а и b
называются полуосями эллипса (большой
и малой соответственно), точки
,
,
,
называются его вершинами.
Если
а>b,
то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии
от центра эллипса О.
Число
(
)
называется
эксцентриситетом эллипса и является
мерой его «сплюснутости» (при
эллипс является окружностью, а при
он вырождается в отрезок длиною
).
Если
а<b,
то фокусы находятся на оси ОY
и
,
.
Гипербола
–
геометрическое множество точек
плоскости, модуль разности расстояний
от которых до двух точек
и
,
называемых фокусами, есть величина
постоянная 2a,
меньшая, чем расстояние между фокусами
2c:
.
Г
|
ипербола, заданная каноническим уравнением:
симметрична
относительно осей координат. Она
пересекает ось ОХ в точках
и
- вершинах гиперболы, и не пересекает
оси ОY.
Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.
Число
,
(
)
называется эксцентриситетом гиперболы.
Прямые
называются асимптотами гиперболы.
Гипербола, заданная каноническим уравнением :
(
или
),
называется
сопряжённой ( имеет те же асимптоты ).
Её фокусы расположены на оси OY.
Она пересекает ось ОY
в точках
и
- вершинах гиперболы, и не пересекает
оси ОX.
В
этом случае параметр b
называется вещественной полуосью, a
– мнимой полуосью. Эксцентриситет
вычисляется по формуле:
,
(
).
Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой
фокусом,
и данной прямой, называемой директрисой:
.
Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.
Уравнение
задает параболу, симметричную относительно
оси ОY.
Парабола
имеет фокус
и директрису
.
Парабола
имеет фокус
и директрису
.
Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.