23. Собственные вектора и собственные значения матрицы (линейного преобразования), их свойства.

Вектор х называется собственным вектором  матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом  матрицы А.

  Подставив в формулы (9.3)  x`_j = λx_j, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

     .

Отсюда

                                           .                                (9.5)

  Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1)        Если выбрать базис из собственных векторов х₁, х₂, х₃, соответствующих собственным значениям  λ₁, λ₂, λ₃ матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

                                                                                     (9.7)                                                    Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2)        Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3)        Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

24. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы (линейного преобразования).

25. Приведение матрицы (линейного преобразования) к диагональному виду. Необходимое и достаточное условие приводимости. Случай простого спектра.