Несчётные множества- !Примеры!

• Вещественные числа;

• Комплексные числа;

• Числа Кэли.

3. Какие способы задания множества Вам известны?

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет. Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества можно задавать только с помощью описания.  Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил         . При этом, A(x) называется характеристическим свойством множества.  Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.

4. Какие отношения между множествами Вы знаете?

   Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.         A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:                     A равно B, если A и B включены друг в друга:                     A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:            

5. Дайте определение объединения множеств. Приведите пример. Поясните с помощью диаграмм Эйлера.

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B.

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением называется множество

Объединение более чем двух множеств

Пусть дано семейство множеств Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2^X;

• Операция объединения множеств коммутативна:

• Операция объединения множеств ассоциативна:

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:

• Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств:

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;

• Операция объединения множеств идемпотентна:

6. Дайте определение пересечения множеств. Приведите пример. Поясните с помощью диаграмм Эйлера.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "·" (знак умножения): С = А∩В или С = АВ. Пересечением множеств А1, А2, А3, …, Аn называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из множеств А1, А2, А3, …, Аn. Свойства операции пересечения множеств. Справедливы следующие равенства: 1. A∩B = B∩A (коммутативность); 2. (A∩В)∩С = А∩(В∩С) (ассоциативность); 3. Если A⊇B, то А∩B = В; 4. А∩Ø=Ø . Доказательство равенств можно выполнить графически с помощью диаграмм Эйлера-Венна или посредством последовательности утверждений. Берётся элемент, принадлежащий правой части равенства, и доказывается, что он принадлежит левой части.