8.7 Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Использование методов этой группы позволяет преодолеть недостатки приемов механического сглаживания. Они дают возможность учитывать все уровни динамического ряда, моделировать динамические процессы, строить прогноз и интерполировать отдельные значения анализируемого показателя.

Основополагающей в теории аналитического выравнивания является идея о возможности геометрического представления зависимости уровней динамического ряда от фактора времени (t). Всегда можно найти плавную линию (прямую или кривую), которая бы проходила через центр распределения и минимизировала сумму квадратов отклонений от нее до каждой точки, представляющей отдельные фактические значения у. Чем лучше теоретическая кривая описывает распределение значений анализируемого показателя в динамике и меньше сумма квадратов отклонений (ошибка функции тренда), тем, следовательно, лучше сделан выбор теоретической функции и надежнее статистические выводы о закономерностях в динамике для у (рис. 8.1).

Объём реализации

y_t

t (годы)

y=f(t)

Рис.8.1 – Динамика объемов реализации продукции предприятия

В общем виде модель зависимости значений показателя от фактора времени t имеет форму:

ŷ_t =f(t)+ε(t) − уравнение тренда,

где f(t) − некоторая неслучайная функция времени (тренд),

ε(t) − случайный компонент, т.е. ошибка модели тренда;

y_t − фактические (эмпирические) значения признака

за период t,

ŷ_t − теоретические (выравненные) значения признака за этот же

период времени t.

Параметры модели для ŷ_t находят с использованием метода наименьших квадратов, т.е. при условии, что сумма квадратов ошибки модели (∑ε²) − минимальна, близка к нулю:

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой. Уравнение прямой имеет вид

y_t=a₀+a₁t,

где t – время,

a_0, a₁ – параметры.

Величина a₀ характеризует среднее значение признака в динамическом ряду, _, a₁ – ежегодный прирост значений признака, обусловленный факторм времени.

Если а₁>0, – имеется тенденция к росту, если а₁<0, имеется тенденция к снижению.

Параметры a₀ и a₁ можно найти из следующей системы уравнений:

.

(8.1)

Поскольку t – время, можем перейти к условным годам, выбрав начало отсчета таким образом, чтобы сумма времени ∑t была равна 0.

При этом индексация временных периодов производится по следующему правилу:

а) если во временном ряду четное число лет, то обозначения t принимаются с разницей в одну единицу (таблица 8.3):

Таблица 8.3 – Выбор t-значений при четном числе лет во временном

Год	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Обозначение года (t)	-7	-5	-3	-1	1	3	5	7

б) если в анализируемом периоде число лет нечетно, то в центре динамического ряда ставится ноль, а вправо и влево от него годы нумеруются по порядку (таблица 8.4):

Таблица8.4 – Выбор t-значений при нечетном числе лет во временном ряду

Год	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Обозначение года (t)	-3	-2	-1	0	1	2	3