Стохастична задача прийняття рішення

Стратегія	Наслідок									Математичне сподівання показника ефективності
	s1		s2			…		sr
x1	P11	Q11	P12	Q12	…		P1r		Q1r
x2	P21	Q21	P22	Q22	…		P2r		Q2r
…	…	…	…	…	…		…		…		…
xn	Pn1	Qn1	Pn2	Qn2	…		Pnr		Qnr

Сутність методу штучного зведення до детермінованої схе­ми полягає у тому, що всі випадкові фактори наближено замінюють деякими невипадковими характеристиками, як правило, їх математичними сподіваннями. У результаті стохастична ЗПР замінюється детермінованою.

Сутність методу оптимізації в середньому полягає в переході від випадкового показника ефективності Q до деякої статистичної характеристики. Загалом Q залежить від вектора стратегій (варіантів) x, масиву детермінованих факторів А, певних реалізацій випадкових факторів :

,

тоді математичне сподівання :

де B — масив відомих статистичних характеристик випадкових величин ; — закон розподілу випадкових величин .

При оптимізації в середньому за цим критерієм вибирається оптимальна стратегія з множини допустимих стратегій що максимізує величину математичного сподівання показника ефективності. Оптимальна стратегія має задовольняти умову:

У такому разі оптимальна стратегія при багаторазовому прийнятті рішення дасть у середньому кращий результат.

У дискретному випадку математичне сподівання показника ефективності буде мати вигляд:

.

Тоді як оптимальна за методом оптимізації в середньому буде обрана стратегія, для якої:

тобто стратегія, якій відповідає максимальне значення у крайньому правому стовпці таблиці.

За оптимізації в середньому можливі три випадки стосовно критерію оптимальності:

• критерій може бути одержаний в аналітичному вигляді (якщо інтеграл береться в аналітичному вигляді);

• критерій оптимальності одержано в алгоритмічному вигляді, тобто одержано алгоритм, що уможливлює за певних значень невипадкових аргументів x, A, B одержання чисельного значення критерію оптимальності F;

• одержання критерію оптимальності неможливе ні в аналітичній, ні в алгоритмічній формі. У цьому разі застосовують метод статистичних випробувань Монте-Карло для одержання необхідних математичних характеристик, зокрема, математичного сподівання критерію оптимальності.

Отже, при розв’язанні стохастичних ЗПР виникають дві проблеми: проблема вибору схеми переходу від стохастичної задачі до детермінованої і проблема, що пов’язана з вибором методу розв’язання та обчислювальної схеми процесу прийняття рішення відповідної детермінованої ЗПР.

11. Прийняття рішень за умов невизначеності.

Задача прийняття рішення (ЗПР) за умов невизначеності полягає у виборі оптимальної стратегії, успіх реалізації якої залежить також від деяких невизначених факторів, що не підвласні ОПР та невідомі в момент прийняття рішення. Розрізняють невизначеності не стохастичної та стохастичної природи.

Так, невизначеності не стохастичної природи можуть спричинятися дією таких факторів:

Стратегічні невизначеності — зумовлені протидією кількох активних учасників, що мають різні цілі (наприклад, діями конкурентів). Тут невизначеність зумовлена тим, що ОПР приймає рішення за умов, коли невідомі майбутні дії або стратегії інших учасників (у термінах теорії ігор — гравців).

Концептуальні невизначеності — невизначені фактори, що зумовлені прийняттям особливо складних рішень, рішень, що мають довгострокові наслідки або можуть бути пов’язані з нечітким усвідомленням ОПР як власних цілей та можливостей, так і інших гравців. Окрім цього, концептуальні невизначеності можуть бути пов’язані із затрудненнями кількісної оцінки складних цілей та якісних критеріїв, що важко формалізуються.

ЗПР з невизначеністю не стохастичного типу розв’язують методами теорії ігор та теорії мінімаксу (див., наприклад, [2, 23, 25, 41]).

Невизначеності стохастичного типу зумовлені об’єктивною дійсністю, яку називають природою. Природа розглядається як незацікавлена сторона. У такому разі ЗПР розв’язуються за допомогою теорії статистичних рішень.

Розглянемо постановку ЗПР за умов невизначеності стохастичного типу. Нехай ОПР може реалізувати одну з m можливих стратегій: x₁, x₂, …, x_m. Прийняття рішення відбувається за умов недостатньо відомої нам ситуації стосовно стану природи (зовнішнього середовища), але щодо стану якої ми можемо зробити n допущень П_і, , які можна розглядати як стратегії природи. Наш «виграш» (ефект від прийнятого рішення) a_ij для кожної пари стратегій вважається відомим і заданий у вигляді матриці .

Окрім матриці виграшів, можна володіти апріорною інформацією щодо ймовірностей можливих станів природи, заданою вектором , де — ймовірність стану П_і. Завдання полягає у виборі оптимальної стратегії. У теорії статистичних рішень пропонується кілька критеріїв вибору оптимального рішення.

Критерій середнього виграшу. Якщо ймовірності стосовно стану природи відомі, то можна скористатися критерієм середнього виграшу або баєсівською стратегією. Згідно з цим критерієм, що базується на оптимізації в середньому, ОПР як оптимальну вибирає ту стратегію, яка максимізує середній виграш, тобто:

.

Критерій Лапласа. Якщо ми не володіємо апріорною інформацією щодо ймовірностей можливих станів природи, то можна вважати їх однаково ймовірними. Тоді вибираємо стратегію, що забезпечить нам виграш:

.

Критерій Вальда. Згідно з цим критерієм ОПР вибирає стратегію , за якої мінімальний виграш вважається максимальним. Ця стратегія гарантує певний виграш за найгірших умов:

.

Критерій Севіджа. Згідно з цим критерієм обирають стратегію, що мінімізує втрати за найгірших умов:

де — ризик при застосуванні стратегії x_i за умов П_j, тобто різниця між максимальним виграшем, який ОПР могла б одержати, якби достовірно знала, що буде мати місце стан П_j, та виграшем при застосуванні стратегії x_i за умов П_j.

Критерій Гурвіца. Цей критерій передбачає при виборі рішення за умов невизначеності не розраховувати на найгірший чи найкращий варіант, а рекомендує розраховувати на деяку проміжну ситуацію, зважуючи найгірші та найкращі умови. Згідно з цим критерієм одержимо виграш:

де — деякий коефіцієнт , який можна інтерпретувати як ступінь схильності до ризику ОПР.

Приклад. Розглянемо приклад застосування розглянутих вище критеріїв оптимальності. Нехай інвестиційна компанія має три альтернативні стратегії щодо вкладання коштів: x₁ — будівництво житла, x₂ — вкладання коштів у безризикові цінні папери та дорогоцінні метали, x₃ — інвестиції у промисловість. Будемо розглядати три можливі стани природи (в нашому випадку це стан економічної кон’юнктури): П₁ — стан економічної кон’юнктури погіршиться, П₂ — стан економічної кон’юнктури не зазнає суттєвих змін, П₃ — стан економічної кон’юнктури поліпшиться. Матриця виграшів та значення критеріїв наведені в таблиці 10.

Таблиця 10