Формула Тейлора
Пусть функция двух переменных z = непрерывна вместе со всеми своими частными производными до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (a,b). Тогда представим эту функцию в виде суммы многочлена п-го порядка по степеням (х-а) и (у-b) и некоторого остаточного члена. В рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
где остаточный член представлен в форме Лагранжа
В других обозначениях эта формула прозвучит так:
Или же через полные дифференциалы различных порядков:
Частный
случай формулы Тейлора получаем при
,
что носит название формулы
Маклорена.
Пример.
Найти приращение, получаемое функцией
при переходе от значений х=1,
у=2
к значениям
.
Решение
Искомое приращение можно найти, применяя формулу
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке (1; 2):
|
|
Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя найденные результаты в исходную формулу, получим:
Экстремум функции нескольких переменных
Говорят,
что функция z
=
имеет
максимум
в
точке
,
если для всех точек
,
достаточно близких к точке
и отличных от неё выполняется неравенство
.
Аналогично
говорят, что функция z
=
имеет
минимум
в точке
,
если для всех точек
,
достаточно близких к точке
и отличных от неё выполняется неравенство
.
Максимум или минимум функции называется её экстремумом.
Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
Теорема 1 (Необходимые условия экстремума).
Если
функция z
=
достигает
экстремума
при
,
,
то каждая частная производная первого
порядка или обращается в нуль при этих
значениях аргументов, или не существует.
Точки,
в которых дифференцируемая функция z
=
может
достигать экстремума, называются
стационарными
точками
и находятся путём решения системы
уравнений:
Данная
система эквивалентна одному уравнению
.
В общем случае необходимые условия позволяют отыскать критические точки, т.е. подозрительные на экстремум (стационарные точки и точки из области определения функции, в которых частные производные не существуют). Не всякая «подозрительная» точка оказывается точкой экстремума. Для исследования функции в таких точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Теорема 2 (Достаточные условия экстремума).
Пусть
в некоторой области, содержащей точку
,
функция
имеет
непрерывные частные производные до
третьего порядка включительно; пусть,
кроме того, точка
является критической точкой функции
,
т.е.
.
Обозначим:
.
Составим определитель
.
Тогда:
1) если
то
функция имеет экстремум в точке
,
а именно максимум, если А < 0 (или C
< 0), и минимум, если А > 0 (или C
> 0);
2)
если
то
экстремума в точке
нет;
3)
если
то вопрос о наличии экстремума функции
в точке
остаётся открытым.
11. Условный экстремум
В
простейшем случае условным
экстремумом
функции
называется максимум или минимум этой
функции, достигнутый при условии, что
её аргументы связаны уравнением
(уравнение
связи).
Чтобы найти условный экстремум функции при наличии соотношения , составляют так называемую функцию Лагранжа
,
где
- неопределенный постоянный множитель,
и ищут обычный экстремум этой
вспомогательной функции. Необходимые
условия экстремума сводятся к системе
трех уравнений 
с
тремя неизвестными
,
из которой можно определить эти
неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
для
испытуемой системы значений
,
полученной при решении исходной системы
при условии, что
.
А
именно, функция
имеет
условный максимум, если
,
и условный минимум, если
.
В частности, если определитель
для
функции
в стационарной точке положителен, то в
этой точке имеется условный максимум
функции
,
если А < 0 (или C
< 0), и условный минимум, если А > 0 (или
C
> 0).