25 Билет Интегрирование по частям .Определённый интеграл

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Тогда

Билет 26

Интегрирование рациональных выражений

Разложение многочлена на множители: Опр. 1: Алгебраическим многочленом n-й степени с действительными коэффициентами наз. выражение P_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a₀ [1], где a_n¹0, a_n-1,... ,a₀ [1] - постоянные действительные числа, а x - переменное действительное число. Теор. №1 (без док.): любой многочлен P_n(x), n³1 из [1] с вещественными коэффициентами представим в виде P_n(x)=a_n(x–b₁)^k1 ×(x–b₂)^k2... (x–b_m^km)(x²+p₁x+g₁)^l1... (x²+p_sx+g_s)^ls [2], где b₁, b₂, b_m - корни многочлена P_n(x), а квадратные трехчлены x²+p_ix+g_i с действительными коэффициентами не имеют действительных корней и n=k₁+k₂+... +k_m+2(l₁+l₂+... +l_s). Число x=b наз. корнем многочлена P_n(x), если P_n(b)=0. Разложение неправильной рац. дроби на сумму многочлена и прав. рац. дроби: Опр. 2: рациональной дробью R(x) наз. отнош. многочленов R(x)=P_n(x)/Q_m(x) [3]. Если n³m, то дробь наз. неправильной, если n£m, то дробь наз. правильной. Любую неправильную дробь [2] можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби: если n³m, то P_n(x)/Q_m(x)=T_n-m(x)+r_k(x)/Q_m(x) [4], где k<m. Представление [4] можно получить с помощью деления многочлена на многочлен "уголком". Частное служит многочленом T_n-m(x), а остаток - многочленом r_k(x). Р азложение правильной рац. дроби на простейшие: Теор. №2 (без док.): пусть R(x)= R(x)=P_n(x)/Q_m(x) - правильная рациональная дробь и Q_m(x)=(x–b₁)^k1...(x–b_j)^kj(x²+p₁x+g₁)^l1... (x²+p_sx+g_s)^ls [5]. Тогда эта правильная дробь представима в виде суммы простейших дробей:

В этом разложении B_ij, M_ij, N_ij - некоторые действительные постоянные, часть из которых может обратиться в нуль. Поясним, что каждая скобка из [5] порождает столько слагаемых в [6], какова её степень. Линейным скобкам соответ­ствуют слагаемые, у которых в числителях стоят константы, а скобкам с квадратными трехчленами соответствуют слагаемые, у которых числители являются линейными двучленами. Для фактического нахождения коэффициентов B_ij, M_ij, N_ij можно привести правую часть [6] к общему знаменателю и при­равнять выражения при одинаковых степенях x в числителях. В результате подучится линейная система уравнений, из которой коэффициенты B_ij, M_ij, N_ij определяются однозначно. Этот способ наз. методом неопределенных коэффициентов. Иногда часть коэффициентов можно найти методом вычеркивания: для определения коэффициента B_lkl в левой части [6] вычёркивается скобка (x–b_l)^kl в знаменателе. В оставшемся выражении полагают x=b_l. Получившееся число и будет равно B_lkl. Интегрирование простейших дробей:

Неправильная рациональная дробь представима в виде сум­мы многочлена и правильной рациональной дроби. В результате интегрирования многочлена получается тоже многочлен, но степени на единицу выше. Правильная рациональная дробь раз­лагается на сумму простейших дробей. Если мы сумеем найти интегралы от простейших дробей, то проблема интегрирования про­извольной рациональной дроби решена. В силу разложения [6] простейшие дроби бывают следующих четырех типов:1) B/x–b; 2) B/(x–b)^k, k>1; 3) Mx+N/x²+px+q; 4) Mx+N/(x²+px+q)^k , k>1.

Здесь b, B, p, q, M, N - некоторые вещественные числа, k - натуральное число и квадратный трехчлен (x²+px+q) не имеет вещественных корней. Каждая из указанных простейших дробей интегрируется в элементарных функциях: 1) ò(B/(x–b))dx=ln|x–b|+c;

2) ò(B/(x–b)^k)dx=–B×1/(k–1)(x–b)^k–1+c, k>1. 3) Для вычисления простейшей дроби третьего типа нужно выделить квадрат в знаменателе и сделать соответствующую замену переменных. 4) Вычисление интеграла вида òMx+N/(x²+px+q)^kdx сводится к вычислению интеграла вида òMx+N/(x²+px+q)^k-1dx и т.д., пока получится интеграл третьего вида, который свободно вычисляется. Теор. №3: всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

Билет 27 Интегрирование тригонометрических выражений: Многие интегралы с помощью замены переменной можно свести к интегралу от рациональной функции. Универсальная тригонометрическая подстановка:

R(u,v) - рациональная функция двух переменных т.е. отношение многочленов двух переменных. Т.к. рациональная функция от рациональной функции есть тоже рациональная функция и произведение рациональных функций пред­ставляет собой рациональную функцию, то полученный интеграл для переменной t есть интеграл от рациональной функции. Замена переменной, допустим t=tg(x/2) - наз. универсальной тригонометрической подстановкой. Вычисление интегралов вида òsinⁿx×cos^mx dx, n,mÎZ: а) Хотя бы одно из чисел n, m - нечётное. Пусть для определения n=2k+1. Тогда òsin^2k+1x×cos^mx dx=–òsin^2kx×cos^mx d(cosx)= –ò(1–cos²x)^k×cos^mx d(cos x)= –ò(1–t²)^kt^mdt. При преобразовании использована замена t=cos x. Т.о. в этом случае исходный интеграл сводится к интегралу от многочлена. б) Оба числа m, n - чётные. В этом случае нужно понижать степень с помощью формул: cos²x=1+cos2x/2; sin²x=1–cos2x/2. Вычисление интегралов вида òsinax×sinbx dx, òsinax×cosbx dx, òcosax×cosbx dx: Для вычисления этих интегралов надо использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

. Интегрирование иррациональных выражений: Интегрирование дробно-линейных иррациональностей: Пусть R(u,v) - рациональная функция двух переменных. Покажем, что вычисление интеграла вида òR(x,²Öax+b/²Öcx+d)dx, где n - натуральное число, a, b, c, d - вещественные чис­ла, сводится к вычислению интеграла от рациональной функции. Для этого сделаем замену t=ⁿÖax+b/²Öcx+d.

Тогда x=dtⁿ–b/a–ctⁿ, dx=(ad–bc)nt^n-1dt/(a–ctⁿ)². Поэтому òR(x,²Öax+b/²Öcx+d)dx=òR(dtⁿ–b/a–ctⁿ, t)((ad–bc)nt^n-1 dt/(a–ctⁿ)²)dt. Интеграл в правой части равенства есть интеграл от рацио­нальной функции. Интегрирование биноминальных дифференциалов: Рассмотрим интегралы вида òx^m(a+bxⁿ)^pdx, где a, b - любые действительные числа, m, n, p - неко­торые рациональные числа. Подинтегральное выражение в рассмат­риваемом интеграле наз. биномиальным дифференциалом. 1) p - целое число. Тогда интеграл рационализируется (сводится к интегралу от рациональной функции) подстановкой t=^rÖx, где r - наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. 2) (m+1)/n - целое число. Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от дробно-линейной иррациональнос­ти подстановкой Z=xⁿ. 3) ((m+1)/n)+p - целое число. В этом случае исходный интеграл тоже сводится к интегралу от дробно-линейной иррациональности с помощью той же замены переменной Z=xⁿ. Интегрирование квадратичных иррациональностей: Пусть R(u,v) - рациональная функция двух переменных. Докажем интегрируемость в элементарных функциях интегралов вида òR(x,Öax²+bx+c)dx. Для этого выделим в подкоренном выражении полный квадрат и с помощью замены переменных приведём корень к одному из сле­дующих видов: Öa²+t², Öa²–t², Öt²–d². Далее сдела­ем тригонометрическую подстановку: в первом случае t=dtgu, во втором t=dsinu, в третьем t=d/cosu. В результате придём к интегралу от тригонометрической функции вида òR(sinu,cosu)du, где R(u,v) - некоторая новая рациональная функция двух переменных. Такой интеграл, заведомо рационализируется с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Билет 28

Пусть даны две непрерывные на [a, b] функции

f1(x)

f2(x), и нам надо найти площадь между

ними в пределах отрезка [a, b].

Как это сделать, говорит следующая лемма.

Лемма

Усл. Функции f1(x)

f2(x) заданы и непрерывны на [a, b]. Утв.Площадь фигуры , ограниченной графиками f1(x) и f2(x), а также прямыми x = a

и x = b, вычисляется по формуле:

S= =(f2(x) - f1(x)) dx

Доказательство Обозначим искомую плoщадь между графиками

через S, площадь под гра-

фиком функции f1(x) через

S1, а площадь под графиком функции f2(x)

Через S2. Очевидно, что

S1 = S + S2

C другой стороны, S1 = f1(x)dx, а S2 = f2(x)dx. Из этих трех равенств получаем

S = (f2(x) - f1(x)) dx. Замечание Приведённое доказательство соответствует случаю, когда обе функции f1(x) и f2(x) неот-

рицательны. Случаи, когда обе они неположительны, одна из них или обе меняют знак на

промежутке (a, b), рассматриваются полностью аналогично. Только надо учитывать, что

итеграл от функции по промежутку, где она отрицательна, будет равен площади со знаком

минус соответствуюющей фигуры, оказавшейся под осью Ox

.Площадь фигуры в полярных координатах

Пусть нам надо вычислить площадь сектора,

ограниченного линиями

= , = и r = r() при [, ].

(Здесь r - полярный радиус, т.е. расстояние

от точки кривой до начала координат, а -

полярный угол, т.е. угол (отсчитываемый про-

тив часовой стрелки) между положительным

направлением оси Ox и лучом, направленным

из начала координат в данную точку.)

Билет 29Вычисление длины кривой: Длина дуги кривой: рассмотрим сначала кривую L, заданную в декартовых координатах уравнением y=¦(x), a£x£b (рис.1). Бу­дем считать, что функция ¦(x) имеет непрерывную производную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] несколько частей точками x_i:a=x₀<x₁<... <x_n=b. Соответствующие точки на кривой L обозначим буквами M₀, M₁,..., M_n. Соединим точки M₀, M₁,..., M_n отрезками. Получим ломаную L_n. Обозначим длину этой лома­ной L_n. Назовём длиной кривой L предел длин ломаных при Dx®0, где Dx=max_1£i£nDx_i, а Dx_i=x_i+1–x_i, l=lim_Dx®0l_n. Если указанный предел существует, то кривая L наз. спрямляемой. Покажем, что при сделанных предположениях (функция ¦(x) имеет непрерывную производную) Кривая L явл. спрямляе­мой.Вычислим длину участка ломаной Dl_i, соответствующ. от­резку [x_i-1, x_i] оси Ox. По теореме Пифагора Dl_i=ÖDx_i²+Dy_i². Приращение функции Dy_i можно представить по теореме Лагранжа в виде: Dy_i=¦(x_i)–¦(x_i-1)=¦'(x_i)(x_i–x_i-1)=¦'(x_i)Dx_i, где x_i некоторая точка интервала (x_i-1,x_i). Поэтому длина ломаной l_n выражается формулой l_n=SÖDx_i²+(¦'(x_i)Dx_i)²

=SÖ1+(¦'(x_i))²Dx_i. Последняя сумма явл. интегральной суммой для функции Ö1+(¦'(x))². Так как эта функция по условию непрерывна, то оп­ределенный интеграл от функции Ö1+(¦'(x))² сущ. и, =>, существует предел длин ломаных. Т.о., кривая L явл. спрямляемой и её дли­на l может быть вычислена по формуле l=ò_a^bÖ1+(¦'(x))²dx. Вычисление длины дуги кривой, заданной парамет­рически: очень часто кривую L удобно задать параметрически x=j(t), y=y(t), t₁£t£t₂

Пример: часть окружности x²+y²=1, расположенную в верхней полуплоскости можно задать явно: y=Ö1–x², |x|£1, а можно задать параметрически: x=cos t, y=sin t, 0£t£p. Теор: Пусть кривая L задана параметрически: x=j(t) непрерывные производные на отрезке [t₁,t₂]. Тогда это кривая спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле: l=ò_t1^t2Ö(j'(t))²+(y'(t))²)dx Док: Проведём рассуждения для случая, когда j'(t)¹0, tÎ[t₁,t₂]. Для определенности считаем, что j'(t)>0. В этом случае существует обратная функция t=j^-1(x), xÎ[a,b], где a=j(t₁), b=j(t₂). Переменную y можно считать сложной функцией переменной x: y=¦(x)= y(j^-1(x)). Применим результат предыдущего пункта.

l =ò_a^bÖ1+(¦'(x))²dx=ò_a^bÖ1+(y(j^-1(x))²×((j^-1(x)')²dx= =ò_t1^t2Ö1+(y'(t)/j'(t))²dt=ò_t1^t2Ö(j'(t))²+(y'(t))²dt. При преобразованиях интеграла сделана замена переменной x=j(t). Теор. док. Вычисление длины дуги кривой, заданной в поляр­ных координатах: пусть кривая L задана в полярных координатах уравнением r=¦(j), j₁£j£j₂, где функция ¦(j) имеет непрерывную про­изводную на отрезке [j₁,j₂]. Тогда кривая L спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле l=ò_j1^j2Ö¦²(j)+(¦'(j))²dj [1]. Док. формулы [1] основано на использовании формулы для вычисления длины дуги, заданной параметрически. В качестве параметра в этом случае выступает переменная j: x=r×cos j=¦(j)cos j, y=r×sin j=¦(j)sin j, j₁£j£j₂, Подставляя выражения для x(j) и y(j) в соответствующую формулу и проделав все нужные выкладки, получаем формулу [1].