1.4. Условная максимизация

Недостатки свертывания нескольких критериев в суперкритерий вынуждают применять другие подходы к решению многокритериальных задач выбора.

Например, можно использовать тот факт, что частные критерии обычно неравнозначны между собой, т.е. одни из них более важны, чем другие.

В предельном случае выделяют один основной, или главный критерий, а остальные рассматривают как дополнительные, второстепенные, сопутствующие.

В результате можно сформулировать задачу выбора как задачу нахождения условного экстремума основного критерия:

(5)

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях С_i (рис. 4).

Рис. 4. К решению задачи выбора методом условной максимизации

В некоторых задачах бывает нужно задавать ограничения на дополнительные критерии не жестко, как в предыдущем случае.

Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо жесткой фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, а значит, формулировать задачу с ограничениями типа неравенств:

(6)

Такой метод решения иллюстрирует рис. 5. Оказывается, что столь незначительное на первый взгляд изменение постановки задачи (по сравнению с жесткими ограничениями) требует принципиально иных методов ее решения.

Рис. 5. К решению задачи выбора методом условной максимизации с нежесткими ограничениями

1.5. Метод уступок

В том случае, когда различия между основным и дополнительными критериями не так велико, как в методе условной максимизации, можно упорядочить частные критерии в порядке убывания их важности.

Затем берется первый из них (самый важный) и находится наилучшая по этому критерию альтернатива (на рисунке 6 это x₃*, если самый важный критерий – I₁, или x₄*, если самый важный критерий – I₂).

Далее определяется «уступка» ΔI_i, т.е. величина, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д.

На рис. 6 полученные таким образом альтернативы изображены точками x₅* и x₆*).

Рис. 6. К методу уступок

1.6. Поиск альтернативы с заданными свойствами

Этот метод многокритериального выбора относится к тому случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или их границы).

Задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям. Если же такая альтернатива во множестве X отсутствует, то найти в этом множестве альтернативу, наиболее близкую к поставленным целям.

При этом удобным является возможность заранее задавать желательные значения критериев Î_i как точно, так и в виде верхних или нижних границ.

Назначаемые величины называют уровнями притязаний, а точку их пересечения в k-мерном пространстве критериев – идеальной точкой, целью.

На рисунке 7 это точка x₁*; она соответствует недостижимой цели, т.к. не принадлежит множеству X. Достижимой цели соответствует точка x₂*.

Рис. 7. К поиску альтернативы с заданными свойствами

После того, как цель задана, идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтернативы, приближаться к цели x* по некоторой траектории в пространстве X. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой и целью x*, т.е. между векторами I(x)=[I₁(x),I₂(x),…,I_k(x)] и Î(x)=[Î₁(x), Î₂(x),…, Î_k(x)].

К оличественно эту меру близости можно описать по-разному. Например, с помощью расстояния:

(7)

Либо с помощью расстояния:

(8)

Здесь считается, что I_i ≥ Î_i , α_i – коэффициенты, приводящие слагаемые к одинаковой размерности и одновременно учитывающие разноважность критериев, α_k+1 – коэффициент, который выражает наше отношение к тому, что важнее – уменьшать близость к цели любого из частных критериев или суммарную близость всех критериев к целевым значениям.