9.3. Кинематический анализ кулачковых механизмов

Задачей кинематического анализа кулачкового механизма так же, как и других механизмов, является определение в нём закона преобразования движения с одновременным определением скоростей и ускорений толкателя при заданной скорости вращения кулачка (в случае вращающегося кулачка). При этом чаще всего принимается, что угловая скорость кулачка .

В результате анализа кинематики определяется функция положения механизма в форме и её производные по : , называемая аналогом скорости, и , называемая аналогом ускорения. Аналогичным образом определяются данные кинематические параметры и в случае возвратно-вращательного движения толкателя. Как известно из материалов по исследованию кинематики рычажных механизмов, имея аналоги скоростей и ускорений, легко вычислить и сами скорости и ускорения толкателя, то есть и .

Из этих простейших выкладок ясно, что анализ кинематики необходимо начинать с определения функции положения, то есть зависимости перемещения толкателя от угла поворота кулачка.

Рассмотрим несколько методов решения этой задачи.

А н а л и т и ч е с к и й м е т о д. Возьмём для простоты тангенциальный кулачок, профиль которого на некотором участке очерчен прямой линией (рис. 9.5). Будем также считать, что толкатель оканчивается остриём, тогда его теоретический и рабочий профили совпадают.

Кулачок 1 вращается против часовой стрелки с угловой скоростью вокруг точки O. Отсчёт угла поворота кулачка будем вести от радиуса OA₀, соединяющего точку A₀ начала фазы удаления толкателя с центром кулачка. Угол отсчитывается навстречу направлению вращения кулачка, так как если мысленно разместиться на кулачке, то можно видеть движение толкателя относительно кулачка именно в направлении указанного отсчёта угла . В положении, показанном на рисунке, когда касание толкателя с кулачком происходит в точке A, перемещение S толкателя в направлении его оси равно расстоянию от точки A до основной окружности, имеющей радиус . Это расстояние определяется разностью . Так как из прямоугольного треугольника OA₀A , то

.

Это и есть функция положения механизма.

Продифференцировав один раз полученное выражение, находим аналог скорости

.

После второго дифференцирования получаем аналог ускорения

.

Г р а ф и ч е с к и й м е т о д с и с п о л ь з о в а н и е м г р а ф и ч е с- к о г о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я. Метод может применяться для анализа кинематики реально существующего механизма, все размеры которого известны. Известна также форма профиля, но неизвестно, какую функцию положения реализует данный механизм. Таким образом, задача сводится к определению функции положения, которая соответствует данному рабочему профилю кулачка.

Решение задачи начинается с разборки механизма и очерчивания рабочего профиля его кулачка на листе бумаги (рис. 9.6). Центр кулачка определяется известным геометрическим способом. Затем из этого центра проводится окружность эксцентриситета и основная окружность рабочего профиля. С помощью радиуса ролика производится переход от рабочего профиля к теоретическому. Для этого раствором циркуля, равным радиусу ролика, проводится ряд окружностей (или дуг окружностей) с центрами на линии рабочего профиля. Огибающая этих окружностей даст теоретический профиль.

Ось толкателя во всех положениях механизма остаётся касательной к окружности эксцентриситета, поэтому через небольшой угловой интервал необходимо провести как можно больше касательных к этой окружности с той стороны от центра кулачка, с которой располагается толкатель. Касательные необходимо пронумеровать в направлении, обратном направлению вращения кулачка. На этих касательных расстояния между точками их пересечения с основной окружностью теоретического профиля радиуса и самим теоретическим профилем равны перемещениям толкателя в каждом из отмеченных положений. На рис. 9.6 в i-м положении угол оси толкателя относительно начала отсчёта отмечен , и соответствующее ему перемещение отмечено .

После измерения во всех положениях механизма перемещения толкателя представляются в виде графика (рис. 9.7).

По оси абсцисс вместо угла поворота можно отложить время , имея в виду линейную зависимость между углом поворота кулачка и временем, а именно, . Согласно этой зависимости шкала времени будет равномерной, как и угловая шкала. В точке на рисунке будет заканчиваться время полного оборота кулачка .

Сумма углов удаления, дальнего стояния и приближения образует так называемый рабочий угол . Поделив рабочий угол на угловую скорость кулачка, получим время прохождения механизмом рабочего угла, то есть .

Для построения графика аналога скорости необходимо продифференцировать полученный график функции положения по . Повторное дифференцирование даёт график аналога ускорения. Если вместо дифференцировать по времени , то получится сначала скорость согласно формуле . Затем продифференцировав график скорости также по времени согласно формуле , построится график ускорения. Методика графического дифференцирования изложена в разделе кинематики механизмов с низшими кинематическими парами.

П л а н с к о р о с т е й к у л а ч к о в о г о м е х а н и з м а. Для анализа кинематики кулачкового механизма полезно уметь построить для него план скоростей. Возьмём кулачковый механизм с поступательно движущимся толкателем (рис. 9.8, а). Для простоты будем считать, что заранее нами построен теоретический профиль. В этом случае с ним в контакте работает толкатель, оканчивающийся остриём.

Обозначим точку кулачка 1, находящуюся в данный момент в контакте с толкателем 2, и точку толкателя, контактирующую с кулачком. В данный момент эти точки совпадают друг с другом. Векторное уравнение скоростей для точек и согласно общему правилу запишется так . В этом уравнении первое слагаемое правой части является скоростью точки кулачка в её вращении вокруг центра O на радиусе R , определяемой формулой и направленной перпендикулярно R в сторону вращения кулачка, то есть известной по величине и направлению. Второе слагаемое представляет относительную скорость точки относительно точки , направленной вдоль касательной t – t и неизвестной по величине. Наконец, вектор левой части есть скорость точки , или скорость самого толкателя, неизвестная по величине и направленная вдоль оси толкателя. При этих данных треугольник плана скоростей легко строится (рис. 9.8, б). Так можно построить планы скоростей для любого положения механизма и по ним определить скорости толкателя или их аналоги и представить в виде графика. С помощью графического интегрирования можно далее определить график функции положения механизма, а с помощью графического дифференцирования – график аналога ускорения.

Г р а ф и ч е с к и й м е т о д с и с п о л ь з о в а н и е м о с н о в н о г о

з а к о н а з а ц е п л е н и я. Вместо метода планов скоростей можно для определения скоростей воспользоваться основным законом зацепления. Пусть имеется кулачковый механизм с поступательно движущимся роликовым толкателем (рис. 9.9). С точки зрения теории зацепления центры вращения звеньев, образующих высшую пару, лежат на так называемой межосевой линии. Причём, в данном случае центр O кулачка находится в пределах чертежа, а центр вращения толкателя находится в бесконечности, так как толкатель движется поступательно. Поэтому межосевая линия расположена горизонтально и образует прямой угол с осью толкателя. Ролик толкателя и кулачок находятся в котакте между собой в точке K.

Проведём нормаль n – n к профилям в точке K, которая пройдёт через центр ролика и пересечёт межосевую линию в полюсе зацепления П. Так как полюс зацепления П является точкой касания центроид, то скорости точек, принадлежащих центроидам звеньев, одинаковы. Толкатель совершает поступательное движение, поэтому скорости всех его точек равны друг другу и скорости полюса. Значит, для определения скорости толкателя необходимо знать скорость полюса, а она найдётся по формуле , так как кулачок вращается вокруг центра O вместе со своей центроидой.

Так можно определить скорость полюса, а следовательно, и скорость толкателя во всех требуемых положениях механизма и далее поступить с ней так же, как это пояснялось выше.