33. Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Матрица игры двух лиц с нулевой суммой. Верхняя и нижняя цена игры, седловая точка. Чистые и смешанные стратегии игроков.

В экономике и управлении часто встречаются ситуации, в которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели, причем результат, полученный каждой стороной при реализации определенной стратегии, зависит от действий другой стороны. Такие ситуации называют конфликтными. Конфликт двух участников с противоположными интересами называется игрой с нулевой суммой. Участники – игроками. Стратегией – осознанный выбор одного варианта действий из множества. Будем рассматривать конечные игры, в которых множества стратегий игроков конечны. Если первый игрок выбрал свою i-ую стратегию, второй игрок j-ую, то результатом такого совместного выбора будет платеж a_ij второго игрока первому. Игра с нулевой суммой обозначается матрицей, которая называется платежной. Строки этой матрицы – стратегии первого игрока. Столбцы – второго. Игра происходит партиями: игроки объявляют свой выбор и происходит расплата. Если aij>0, то выигрывает первый игрок. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии.

Если мы выберем i-ую стратегию, то второй игрок выберет такую стратегию, чтобы обеспечить себе наибольший выигрыш, т.е. он выберет такой столбец матрицы П, в котором платеж aij минимален. Переберем все наши стратегии и выберем такую из них, при которой второй игрок, действуя максимально разумно, заплатит нам наибольшую сумму (это - минимальный гарантированный выигрыш первого игрока). Величина максимина (альфа) – нижняя цена игры (минимальный гарантированный выигрыш при максимальной стратегии). Верхняя (бета) – минимакс (второй игрок не проиграет более, чем ее). Если минимакс=максимину, то игра имеет седловую точку (платеж максимален в столбце и минимален в строке), общее значение альфа и бета=цена игры. При этом стратегии игроков, соответствующие Седловой точке, называются оптимальными чистыми стратегиями. Если игра не имеет Седловой точки, то решается смешанной стратегией. Она получается случайным чередованием нескольких чистых стратегий.

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:

W(P,Q):	a11		…		aij		…		amn
	p1 q1		…		pi qj		…		pm qn

Если игроки применяют свои смешанные стратегии P (p_1, p_2,…p_m )и Q (q₁, q₂,…q_n) соответственно, Выигрыш первого: выигрыш a_ij

Вероятность p_i q_j.

То есть первый игрок с вероятностью p_i g_j. выигрывает a_ij.. Математическое ожидание выигрыша первого игрока равно

М(P,Q)= p_i q_j a_ij есть средний выигрыш.

И это равно математическому ожиданию проигрыша второго игрока.

Пусть есть дисперсия этой случайной величины. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш первого есть проигрыш для второго, то есть случайный проигрыш второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и – второй, стратегии оптимальны, если М(P,Q*) М(P*,Q*) М(P*,Q)

Пара (P*,Q*) – решение игры. Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .

40. Во многих игровых задачах неопределенность вызвана не сознательным противодействием противника, а просто недостаточной осведомленностью об условиях, в которых осуществляются действия сторон. Так, например, могут быть заранее неизвестны: погода, покупательный спрос. Такие игры называются играми с природой. Условия игры задаются, как обычно, платежной матрицей, в которой строки – соответствуют стратегии игрока А, а столбцы – В. В ряде случаев рассматривают матрицу рисков R. Элементы матрицы рисков представляют собой разность между выигрышем, который получил бы первый игрок, если бы он знал состояние платежной матрицы, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию А. Для решения игр с природой используется ряд критериев:

1. критерий Лапласа. Если неизвестны состояния природы, то все состояния среды считаются равновероятными. В этом случае стараются обратить в минимум среднее значение выигрыша.

2. критерий Вальда. В качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока, при которой минимальный выигрыш максимален (принцип максимина).

3. критерий Сэвиджа. Выбирается та стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной обстановке.

4. критерий Гурвица. Выбирается стратегия, при которой максимизируется величина: , где лямбда от 0 до 1 (ее выбирают на основании субъективных соображений).

34. Ряд распределения выигрышей в матричной игре. Средний ожидаемый выигрыш и риск. Оптимальные стратегии игроков и цена игры. Представление математического ожидания выигрыша первого игрока и дисперсии в игре с матрицей типа 2x2 в виде…

В экономике и управлении часто встречаются ситуации, в которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели, причем результат, полученный каждой стороной при реализации определенной стратегии, зависит от действий другой стороны. Такие ситуации называют конфликтными. Конфликт двух участников с противоположными интересами называется игрой с нулевой суммой. Участники – игроками. Стратегией – осознанный выбор одного варианта действий из множества. Будем рассматривать конечные игры, в которых множества стратегий игроков конечны. Если первый игрок выбрал свою i-ую стратегию, второй игрок j-ую, то результатом такого совместного выбора будет платеж a_ij второго игрока первому. Игра с нулевой суммой обозначается матрицей, которая называется платежной. Строки этой матрицы – стратегии первого игрока. Столбцы – второго. Игра происходит партиями: игроки объявляют свой выбор и происходит расплата. Если aij>0, то выигрывает первый игрок. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии.

Если мы выберем i-ую стратегию, то второй игрок выберет такую стратегию, чтобы обеспечить себе наибольший выигрыш, т.е. он выберет такой столбец матрицы П, в котором платеж aij минимален. Переберем все наши стратегии и выберем такую из них, при которой второй игрок, действуя максимально разумно, заплатит нам наибольшую сумму (это - минимальный гарантированный выигрыш первого игрока). Величина максимина (альфа) – нижняя цена игры (минимальный гарантированный выигрыш при максимальной стратегии). Верхняя (бета) – минимакс (второй игрок не проиграет более, чем ее). Если минимакс=максимину, то игра имеет седловую точку (платеж максимален в столбце и минимален в строке), общее значение альфа и бета=цена игры. При этом стратегии игроков, соответствующие Седловой точке, называются оптимальными чистыми стратегиями. Если игра не имеет Седловой точки, то решается смешанной стратегией. Она получается случайным чередованием нескольких чистых стратегий. После нахождения оптимальных смешанных стратегий, если вероятности больше нуля, то существует на один больше вариант игры: M((P*,Q*)=M((1,0),Q*)=M(P*,(1,0,0,0)= … = цена игры. Ряд распределения: х (из матрицы) и Р(p1*q1,p1*q2,p1*q3…). Цена игры=MX. MX²=сумма Р на х². DX=MX²+(MX)².

Риск = корень из дисперсии. .

Стратегии P* и Q* - оптимальные стратегии, если соблюдается свойство:

M(P,Q*)<=M(P*,Q*)<=M(P*,Q)

Вариант игры, в котором риск наибольший, соответствует наибольшей конкуренции. Наименьший – сотрудничеству.