Свободные затухающие электрические колебания
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 4.3). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.
Рис. 4.3
По второму закону Кирхгофа:
|
|
|
(4.3.1) |
.
|
,
или 
Обозначим 
– коэффициент
затухания и,
учитывая, что собственная частота
контура 
,
получим уравнение
затухающих колебаний в
контуре с R, L и С:
|
|
|
(4.3.2) |
.
|
При 
,
т.е. 
, решение
этого уравнения имеет вид:
где 
– частота
затухающих колебаний контура,
или 
,
т.е. 
.
Рис. 4.4
На рис. 4.4 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I. Если сравнить электрические затухающие колебания с механическими (рис. 3.1), то хорошо видны общие закономерности этих явлений: колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.
Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания χ:
|
|
|
(4.3.3) |
,
|
где A – амплитуда I, U, q.
Найдём выражение χ для электрических колебаний. Т.к.
, 
,
тогда
.
Поскольку R, L, ω определяются параметрами контура, следовательно χ являетсяхарактеристикой контура.
Если
затухание невелико, т.е. 
,
то 
тогда
|
|
|
(4.3.4) |
.
|
Колебательный
контур часто характеризуют добротностью Q, которая
определяется как величина, обратно
пропорциональная χ: 
, а
т.к. 
,
где N – число колебаний,
то 
, т.е. добротность Q тем
больше, чем больше колебаний успевает
совершиться, прежде чем амплитуда
уменьшится в е раз.
Добротность определяется и по-другому:
|
|
|
(4.3.5) |
,
|
где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом.
При 
т.е.
при 
,
происходит апериодический
разряд (рис.
4.5).
Рис. 4.5
Сопротивление
контура, при котором колебательный
процесс переходит в апериодический,
называется критическим
сопротивлением 
.
Найдем это сопротивление из равенства:
,
отсюда
|
|
|
(4.3.6) |
,
|
где Rвол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.
Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и (рис. 3.1):
,
где β – коэффициент затухания.
Рис. 3.1
Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:
;
.
Выясним физический смысл χ и β.
Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз.
отсюда
Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда
; ;
.
Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.
Если χ = 0,01, то N = 100.
При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случаеапериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения.
ДОБРОТНОСТЬ
ДОБРОТНОСТЬ колебательной системы, характеристика резонансных свойств системы, показывающая, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает их амплитуду вдали от резонанса. Чем выше добротность системы, тем меньше потери энергии в ней за период (смотри затухающие колебания). Типичные значения добротности: для колебательного контура 10 - 100, для камертона 1000, для пластинки из пьезокварца 10000, для оптического резонатора в лазере 100 000 и выше.
40