Операции над нечеткими множествами

Наиболее часто используются следующие операции над нечеткими множествами [17].

Включение. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве Е. Считается, что А содержится в В, если и обозначается, как . Иногда используют термин «доминирование» , т. е. в случае, когда , то В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если обозначается, как А = В.

Дополнение. Пусть М = [0,1], А и В - нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если , что обозначается как В = или А = . Очевидно, что А = .

Пересечение - наибольшее нечеткое подмножество, содержа­щееся одновременно в А и В: .

Объединение - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности: .

Разность с функцией принадлежности:

.

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

Система, заданная на множестве рассмотренных операции над нечет­кими множествами не образует булеву алгебру. Это связано с тем, что для данных операций справедливы рефлексивность, антисимметричность, транзитивность, а также выполняются законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, двойного отрицания и де Моргана. Однако не выполняется закон комплементарности, т. е. в случае нечеткого множества справедливы соотношения

, ,

причем равенство не удовлетворяется.

Пример 1.8. Пусть

А =0,4/ x₁ + 0,2/ x₂ + 0/ x₃+ 1/ x₄;

В=0,7/ x₁ + 0,9/ x₂ + 0,1/ x₃+ 1/ x₄;

С=0,1/ x₁ + 1/ x₂ + 0,2/ x₃+ 0,9/ x₄

тогда:

1) , т. е. А содержится в В или В доминирует А, С несравнимо ни с А, ни с В, т. е. пары {А, С} и {В, С} - пары недоминируемых нечетких множеств;

2) ;

3) 0,6/ x₁ + 0,8/ x₂ + 1/ x₃+ 0/ x₄; 0,3/ x₁ + 0,1/ x₂ + 0,9/ x₃+ 0/ x₄;

4) 0,4/ x₁ + 0,2/ x₂ + 0/ x₃+ 1/ x₄;

5) 0,7/ x₁ + 0,9/ x₂ + 0,1/ x₃+ 1/ x₄;

6) 0,3/ x₁ + 0,1/ x₂ + 0/ x₃+ 0/ x₄;

7) 0,6/ x₁ + 0,8/ x₂ + 0,1/ x₃+ 0/ x₄;

8) 0,6/ x₁ + 0,8/ x₂ + 0,1/ x₃+ 0/ x₄;

Нечеткая лингвистическая переменная

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств [19]. Нечеткая переменная характеризуется тройкой <α, X, А>, где α – наименование переменной, X - универсальное множество (область определения α), А - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. ) на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной называется набор <β, Т, X, G, М>, где β - наименование лингвистической переменной; Т- множество ее значений (терм- множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной; G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества Т, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество , где - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:

• символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

• пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм «молодой», являющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример 1.9. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «малая толщина», «средняя толщина» и «большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм. Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной < β, Т, X, G, М>, где β - толщина изделия; Т - {«малая толщина», «средняя толщина», «большая толщина»}; X - [10, 80]; G - процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и др. Например: «малая или средняя толщина», «очень малая толщина» и др.; М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁ = «малая толщина», А₂ = «средняя толщина», А₃ = «большая толщина», а также нечетких множеств для термов из в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и др. операции над нечеткими множествами вида: , , , ON А=А², DIL А=А⁰⁵ и др.

Пример 1.10. Нечетким лингвистическим переменным «холодная», «горячая» можно дать количественную форму с использованием функций принадлежностей [15]. Температура в 50 °С частично c весом 0,5 является «холодной» и с весом 0,5 «горячей» (рис. 1.6).

Заметим, что справедливо условие нормировки: .

Замечание. Помимо рассмотренного изучаются и другие типы нечетких множеств с определением функций принадлежностей на булевых перемен­ных, решетках, сетях и т. д. Обобщаются традиционные разделы математики в нечеткой постановке нечеткая статистическая проверка гипотез, нечеткий регрессионный анализ, нечеткие марковские случайные процессы, нечеткие дифференциальные уравнения и другие разделы [15].