20. Принадлежность точки и линии поверхности.

Прямая принадлежит к плоскости если:

1) Проходит через две точки лежащие в этой плоскости.

2) Если проходит через точку лежащую в этой плоскости, параллельно любой прямой принадлежащей (лежащей) в этой плоскости.

Признак принадлежности точки плоскости:

Точка принадлежит плоскости, если лежит на прямой принадлежащей этой плоскости.

? 21. Пересечение многогранников плоскостью частного положения.

Пересечение многогранника плоскостью

Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника.  Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многогранников, вырождаться в прямые и точки.  Сечение многогранника плоскостью можно построить двумя способами:  1. По точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника.  2. По линиям пересечения граней многогранника с плоскостью.  В первом случае задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью. Во втором случае - к определению линий пересечения плоскостей.  В ряде случаев целесообразно комбинированное применение обоих способов.

Пересечение плоскостей общего и частного положения

Пусть нам дана плоскость частного положения a П₁ и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС. Требуется построить линию пересечения плоскости a с плоскостью АВС.

  Рассмотрим сначала пространственную модель, на которой даны плоскость a, плоскость АВС и плоскость проекций П₁. Спроецируем плоскости a и ABC на П₁. Плоскость общего положения АВС проецируется на плоскость П₁ в виде треугольника А₁В₁С₁, а плоскость частного положения a - в виде прямой a₁. На плоскости П₁ прямая a₁ и АВС пересекаются в точках K₁ (K₁ принадлежит А₁В₁) и N₁ (N₁ принадлежит А₁C₁). Если через точки K₁ и N₁ провести проецирующие прямые до пересечения с плоскостью АВС, то получатся две точки K (K принадлежит АВ) и N (N принадлежит АC). Соединив точки K и N, мы получим прямую KN. Прямая KN - линия пересечения плоскости a с плоскостью АВС.

Теперь обратимся к комплексному чертежу. K₁ принадлежит a₁ , следовательно K принадлежит a. K₁ принадлежит A₁B₁, а K₂ принадлежит A₂B₂, следовательно K принадлежит AB. Из этих утверждений следует, что K - точка пересечения прямой АВ с плоскостью a. Возьмем точку N и проделаем те же действия. Теперь рассмотрим ABС (заданный пересекающимися прямыми АВ, АС). КN - линия пересечения плоскости ABС с плоскостью a.

? 22. Пересечение поверхностей вращения плоскостью частного положения.

В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пересечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечения цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы. Изображение пересечения цилиндров с параллельными образующими

приведено на рис. 8.6.

Соосные поверхности вращения (рис. 8.7). Комбинация из пересекающихся трех соосных конусов образует центровое гнездо для обработки деталей в центрах. Для предохранения от повреждений рабочей конической поверхности 1 при соприкосновении (ударах) с другими деталями служит наружный конус 2.

Пересечение поверхностей , описанных вокруг одной сферы (рис. 8.8). В этом случае линиями пересечения поверхностей 2-го порядка являются две плоские кривые 2-го порядка, изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхностей, в виде прямолинейных отрезков. В случае, показанном на рис 8.8, поверхности цилиндра и конуса пересекаются по двум эллипсам с проекциями 1₂2₂ и 3₂4₂.

Рассмотренный пример пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, является частным случаем, следующим из теоремы Монжа: две поверхности 2-го порядка, описанные около третьей поверхности 2-го порядка ( или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

? 23. Построение точек пересечения многогранников с прямой.

Прямая пересекает многогранную поверхность в нескольких точках, различных или совпадающих.  Если многогранник выпуклый, то существует 2 точки пересечения прямой с многогранной поверхностью, их называют точками встречи.  Построение точек встречи сводится к решению первой основной позиционной задачи. Рисунок наглядно иллюстрирует решение этой задачи.

 Алгоритм построения точек пересечения прямой с многогранной поверхностью:

1.Заключаем прямую a во вспомогательную плоскость s.

2.Плоскость s пересекает многогранник по ломаной KLP.

3.Ломаная KLP пересекается с прямой a в точках N и M. Точки N и M – искомые точки пересечения прямой a с многогранником.

Выбор вспомогательной плоскости s необходимо обосновать в каждом конкретном случае, исходя из точности и простоты построений.