Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим
односторонние
пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из
:
| LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при
:
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствий [показать]
[Править] Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что
.
Рассмотрим два случая:
1.
Пусть
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами:
,
где
—
это целая часть x.
Отсюда
следует:
,
поэтому
.
Если
,
то
.
Поэтому, согласно пределу
,
имеем:
.
По признаку
(о пределе промежуточной функции)
существования пределов
.
2.
Пусть
.
Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из
двух этих случаев вытекает, что
для
вещественного x.
Следствия
для
,
19)Понятие производной. таблица производной
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Определение
Пусть
в некоторой окрестности
точки
определена
функция
Производной
функции называется такое число
,
что функцию в окрестности U(x0)
можно представить в виде
f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)
если существует.
[Править] Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
[Править] Дифференцируемость
Основная статья: Дифференцируемая функция
Производная
функции
f в точке x0, будучи пределом,
может не существовать или существовать
и быть конечной или бесконечной. Функция
f является дифференцируемой в точке
x0 тогда и только тогда, когда
её производная в этой точке существует
и конечна:
Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
при
20)Правило дифференцирования