Нахождение частных производных.

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

(Лекция № 2)

Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных.

z=f(x,y) в области D.

p(x,y)  D - рассматриваемая точка. Дадим х приращение х, у - у. Получим р₁(х+х, у+у). Вычилим значение функции. Полным приращение функции называется разность:

z = f(p₁)-f(p)

z = f(x+x,y+y)  f(x,y)

Опр. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная линейная часть приращения этой функции, если приращение можно преобразовать к виду:

z = Ax + By + 

А, В - не зависят от х, у;

 - зависит от х и у и при этом

Lim  = 0

0 

 - расстояние между точками р и р₁

S = рр₁ = х² +у^2

 является бесконечно малой, более высокого порядка, чем 

При ументшении х и у 0 быстрее, чем . Из определения следует, что полный дифференциал функции равен

z = Ax + By

При малых х и у имеет место равенство z  dz.

Опр. Если функция z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке р, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема. Необходимые условия дифференцируемости функции.

Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р, то она имеет частные производные в этой точке и при этом выражение поного дифференциала А = z/x B = z/y, т.е. полный дифференциал может быть записак в виде:

dz = z/x x + z/y y

Док-во: По определению дифференцируемости приращение функции может быть записано в виде:

z = Ax+By + при любом х и у.

Рассмотрим 2 частных случая

1)х0 у = 0

При этом z=Ax+ /x и перейдем к пределу. Полное приращение функций превращается в частное приращение.

Lim _xz/x = Lim A+/x

x0 x0

z/x= A+Lim(x0)/x =0 т.к. =х

В результате получаем А=z/x

2)x=0 y0

При этом аналогичным образом получим, что В=z/y

Теорема доказана. Как следствие  полный дифференциал дифференцируемой функции определяется по формуле:

dz=z/xx+z/yy, если при этом учесть, сто приращение независимых переменных х и у равны их дифференциалам x=dx, y=dy, то окончательно получим:

dz=z/xdx+z/ydy

Теорема 2. Достаточное услови дифференцируемости функции.

Если z=f(x,y) имеет в точке р(х,у) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, т.е. она имеет полный дифференциал.