19.3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн

1. В гидродинамике жидкость или газ рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Поэтому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться объем достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с молекулярными расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении це­лого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматри­ваемого в гидродинамике как точка.

Пусть жидкость движется со скоростью v (х, у, z, t), проекции которой на оси координат обозначим v_х(х, у, z, t), v_y (х, у, z, t), v_z(х, у, z, t).

Подчеркнем, что v (х, у, z, t) есть скорость жидкости в каждой данной точке (х, у, z, t) пространства в момент времени t, т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к опреде­ленным частицам жидкости, передвигающимся со временем в про­странстве; то же самое относится к термодинамическим величинам р(х, у, z, t), ρ(х, у, z, t).

Если поле вектора скорости v (х, у, z, t) известно, то траек­тории отдельных частиц жидкости будут определяться, уравнениями

Отсюда легко можно найти ускорение частицы жидкости:

(19.1)

В каждый момент времени и в каждой точке жидкость нахо­дится в некотором состоянии термодинамического равновесия, определяемого давлением р(х, у, z, t), плотностью ρ(х, у, z, t), температурой Т(х, у, z, t), энтропией s(х, у, z, t) и внутренней энергией Е(х, у, z, t). Из термодинамики известно, что для каж­дой данной среды независимы только два из параметров р, ρ, T, s и Е. Величины р, Т и Е можно рассматривать как функции от ρ и s.

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вы­вода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем жидкости V, огра­ниченный поверхностью S. Если внутри объема V нет источников и стоков, то изменение в единицу времени массы жидкости, заклю­ченной внутри V, равно потоку жидкости через поверхность S:

где v_п — проекция v (х, у, z, t) на внешнюю нормаль к поверхно­сти S. Преобразуя правую часть по формуле Остроградского и дифференцируя по t под знаком интеграла в левой части, получим:

,

или

,

где

Так как последнее равенство справедливо для любого объема внутри жидкости, то отсюда следует, что

. (19.2)

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Перейдем теперь к выводу уравнений движения идеальной жидкости.

Под идеальной жидкостью будем понимать такую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли среда в состоя­нии равновесия или движения — приводятся к давлению, так что если выделить в этой жидкости некоторый объем V, ограниченный поверхностью S, то действие на него остальной части жидкости приводится к силе, направленной в каждой точке поверхности S по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы, отнесен­ную на единицу площади (давление), через р(х, у, z, t).

Таким образом, равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности S, равна

,

где n —единичный вектор внешней нормали к поверхности S. На основании формулы Остроградского имеем

Пусть далее на жидкость действует внешняя сила F(F_х, F_y, F_z) рассчитанная на единицу массы, так что равнодействующая этих сил, приложенных к объему V, равна

Наконец, равнодействующая сил инерции, действующих на жидкость в объеме V, будет

,

где — вектор ускорения частицы жидкости. Здесь производная определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвиж­ной точке пространства, а изменение скорости определенной пере­двигающейся в пространстве частицы жидкости. Это подчеркивается обозначением вместо .

Применяя принцип Даламбера, получим

Отсюда в силу произвольности объема V следует, что

(19.3)

или в скалярной форме

(19.4)

Это есть уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Итак, для пяти неизвестных функций v_x, v_у, v_z, ρ и р мы имеем всего четыре уравнения (19.2) и (19.4). Чтобы получить еще одно уравнение, будем считать, что движение жидкости происхо­дит адиабатически. При адиабатическом движении энтропия каж­дой частицы жидкости остается постоянной (хотя может меняться от частицы к частице при перемещении последней в пространстве, т. е. = 0, где полная производная по времени означает, как и в (19.3), изменение энтропии определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную можно запи­сать в виде

Это есть уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. В частном случае может оказаться, что и некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках жидкости, тогда она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этом случае уравнение адиабатичности можно писать просто в виде

s= s₀ = const.

Такое движение жидкости называют изэнтропческим. При этом

p = f(ρ,s₀) = f(ρ). (19.5)

Таким образом, мы имеем пять уравнений: уравнение нераз­рывности (19.2), три уравнения движения идеальной жидкости (19.4) и уравнение (19.5). Эти уравнения содержат как раз пять неизвест­ных функций: v_x, v_у, v_z, ρ и р.