Линейные операторы. Действия с лин. Операторами

Пусть X и Y два линейных пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо: A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u). Операторы A и B, действующие из X в Y называются равными, если A(x) = B(x) для всех x из X :

A: X → Y,  B: X → Y,  A = B  если  A(x) = B(x), ∀x∈X.

Действия с лин. операторамими. Операторы A и B действуют из X в Y .Оператор C, действующий из X в Y, называется суммой операторов A и B, если C(x) = A(x) + B(x) для всех x из X :A: X → Y,  B: X → Y,  C = A + B  если C: X → Y, и  C(x) = A(x)+ B(x) , ∀x∈X.

Оператор A действует из X в Y . Оператор C, действующий из X в Y, называется произведением оператора A на число α, если C(x) = α·A(x) для всех x из X :A: X → Y,   C = α·A если C: X → Y, и  C(x) = α·A(x) , ∀x∈X.

Оператор A действует из X в Y, оператор B действует из Y в Z. Оператор C, действующий из X вZ, называется произведением операторов A и B, если C(x) = A(B(x) ) для всех x из X : A: X → Y,  B: Y→Z,  C = B·A если C: X →Z, и  C(x) = B(A(x)) , ∀x∈X.

Сумма A + B линейных операторов, произведение линейного оператора на число α·A и произведениеB·Aлинейных операторов — линейные операторы.

Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .В этих пространствах определены базисы e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_m}. Пусть A(e_i ) = a_1i·f₁ + a_2i·f₂ + ...+ a_mi·f_m — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

A = . Собств. значения и собств. векторы линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X. Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению,называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ. A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X.

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.

Квадратичная форма переменных x₁, x₂,…, x_n – функция f(x₁, x₂,…, x_n) = = a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ +…+ a_1nx₁x_n + a₂₁x₂x₁ + a₂₂x₂² +…+ a_2nx₂x_n +…+ a_n1x_nx₁ +a_n2x_nx₂+…+a_nnx_n², a_ij - коэффициенты квадратичной формы.

Матрица A = называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма наз. невырожденной, если det A 0.

Квадратичная форма называется канонической, если все a_ij = 0, i j, т. е.

f(x₁, x₂,…, x_n) = = a₁₁x₁² + a₂₂x₂² +…+ a_nnx_n²

Пример 1. Найдем матрицу квадратичной формы

F = 2 x₁² − 4 x₁ x₂ + x₂² + 2 x₁ x₃ − x₃². Решение. 1. Запишем квадратичную форму F в виде: F = 2 x₁² − 2 x₁ x₂ − 2 x₂ x₁ + x₂² + x₁ x₃ + x₃ x₁ − x₃². 2. Матрица этой квадр-ой формы:

A =