Корреляционный анализ линейных систем (лс)
1. Анализ параметрических ЛС.
2. Анализ непараметрических ЛС.
3. Анализ многокаскадных ЛС.
4. Линейные случайные процессы.
1
Вспомним: если есть
,
отклик
и оператор
,
то тогда между ними существует следующая
связь
Классификация систем была приведена в курсе ТПС.
Линейная система – это
система, которая удовлетворяет принципу
суперпозиции.
в этом случае обозначается
.
Временная область: 1) дифференциальные уравнения
2) импульсная переходная функция (ИПФ)
По сути ИПФ является решением дифференциального уравнения. Эти характеристики практически всегда можно получить одну через другую.
Дифференциальные уравнения не дают связи между и .
ИПФ напрямую дает связь между и .
,
где
– отклик ЛС на
.
Для непараметрических систем (характеристики не зависят от )
Заданы:
вероятностные характеристики воздействия,
и требуется найти вероятностные
характеристики отклика.
Данная задача может быть решена в полной постановке (в узком смысле – в терминологии закона распределения (ЗР)) или в широком смысле – корреляционная теория. Нахождение ЗР отклика на выходе ЛС в настоящее время отсутствует за исключением нескольких частных случаев.
Мы будем решать эту задачу в рамках корреляционной теории.
Необходимо найти: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
Используя свойство МО найдем вышеперечисленные характеристики.
1) 
2) 
3) 
где
Для существования
необходимо интегрирование МО и
корреляционной функции с весом.
5) 
6) 
2
Можно ли говорить (на
основании полученных результатов), что
– ССП (при общей постановке задачи).
В общем случае – нестационарный СП.
При каких условиях может быть ССП.
1) Пусть система является непараметрической
2) Воздействие – ССП
Для решения задачи мы будем использовать полученные ранее формулы
Таким образом система пассивна – МО воздействия и отклика совпадают.
Пассивная система – это система, в которой отсутствуют устройства преобразования энергии.
Произведем замену
,
,
.
Таким образом процесс
является стационарным (корреляционная
функция зависит от разности
)
Замена
,
,
.
– Корреляционное
преобразование системы
.
Окончательное выражение для нахождения
.
Результирующая формула
.
Проверим, как ведет себя взаимная корреляционная функция
Замена
,
,
,
в результате замены получим:
.
Таким образом воздействие и отклик являются стационарно связанными СП.
.
Самостоятельно
3
3.1 Последовательная система
Таким образом задача может быть сформулирована несколько иначе
таким образом
Если система является непараметрической то эквивалентная система тоже является непараметрической и определяется:
Выводы: Все результаты, полученные в пп. 1,2 справедливы для последовательной системы. Количество систем в цепочке неважно.
3.2. Параллельные системы
Когда характеристики
системы совпадают, то
совпадает с корреляционными функциями
Дальнейший анализ: можно предположить, что будет если обе системы непараметрические и воздействие является ССП
4
На вход подается белый шум (БШ) в широком смысле, так как задача решается в рамках корреляционной теории.
Рассмотрим стационарный БШ.
Предположим, что
,
– интенсивность БШ.
;
Для стационарного БШ получим
Если система
непараметрическая, тогда
– стационарный процесс.
,
с точностью до постоянной
совпадает с корреляционным преобразованием
системы.
с точностью до постоянной
совпадает с импульсной переходной
функцией
– часто используется при идентификации системы.
Вспомним, что
,
в том случае, когда
– БШ – процесс
называют линейным СП (ЛСП).
В узком смысле в узком смысле
В широком смысле в широком смысле
ЛСП – это отклик системы при воздействии на нее БШ.
Возникает ряд задач:
1) Если БШ в узком смысле, то что тогда будет? Нахождение ЗР.
2) Каким образом ЛСП
можно представить как результат
фильтрации БШ линейной системой с ИПФ
?
Обратная задача. Задача заключается в
нахождении
,
тогда этот фильтр называют формирующим
фильтром.
ЛСП в узком смысле мы рассмотрим позднее.