6. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Пусть прямые L₁ и L₂  заданы уравнениями с угловым коэффициентом y= и

Здесь   и - углы наклона прямых L₁ и L₂  к оси Ox, а  - один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что   .

Отсюда

   .

 Т.е. угол между прямыми  L₁ и L₂  определяется по формуле:

               

 Прямые параллельны, если tg  = 0, т.е. k₁ = k₂ .

 Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получим из формулы ,т.к. tg  не существует при k₁ k₂ + 1 = 0.

 Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂  запишем в виде:

.

2.Базис. Разложение вектора по базису.

Линейное пространство R наз-ся n мерным, если сущ-ет система n линейно независимых векторов, а любые n+1векторы образуют линейно зависимую систему. Совокупность n линейно независимых векторов n мерного пространства наз-ся базисом. Теорема. Каждый линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство: Представим, что имеет вид х = Тогда , но при этом Е Тогда по определению система x является линейно зависимой.Докажем единственность разложения: (от противного)Предположим, что это не так. Допустим, Е х=

x=

0=

Т.к. векторы образуют базис, то они ≠0, ≠0, i= i= Поскольку это базис, все коэффициенты равны 0.

20.Ранг матрицы.

Рангом матрицы А ( r(A) или rang(A)) наз-ся максимальный порядок миноров данной матрицы, отличных от 0.Минор, который определяет ранг матрицы, наз-ся базисным минором.

А rg(A)=2

Свойства ранга матрицы:

1.r(A) ≤ min(m;n)

2.r(A)=0

3.r(A) не изменится, если у матрицы вычеркнуть нулевые строчки или столбцы.

4.r(A) не изменится при транспонировании матрицы.

5.Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

3.Скалярное произведение 2-х векторов и его свойства.

Пусть даны два вектора   и  , угол между, которыми равен  .

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин

этих векторов на косинус угла между ними:  .

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с

определением равно нулю:  ( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Скалярное произведение двух векторов:

   -  положительно, если угол между векторами острый ;

   -  отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | ², называется скалярным квадратом. 

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1  ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й   закон )

Доказательство:

2. .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между

векторами   и   совпадает с углом между векторами   и  ,  .

Поэтому  . Откуда 

Аналогично доказывается и равенство  .

3. . ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й   закон )

Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций

вектора на ось, будем иметь

4.Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,

когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух

векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в

координатной форме. Пусть даны два вектора   и  .

Их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: 

.Длина (модуль) вектора  a = ( x,  y,  z ) равна:

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,

получаем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: