65. Вариационные методы.

Основная идея метода конечных элементов, базирующаяся на методах Бубнова, Галеркина и Ритца, была предложена Р.Курантом в 1943 г., но осталась незамеченной, опередив потребности практики. В 50 - х годах прошлого века с появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти (носители финитных базисных функций, об этом ниже) и получили название конечных элементов.

Рис. 7.1. 

Методы конечных элементов (МКЭ) в настоящее время, пожалуй, самые распространенные в мире численные методы. К их достоинствам относятся:

1. возможность счета на неравномерных сетках, в двумерном и трехмерном случаях для областей сложной геометрии;

2. "технологичность" методов (уточнение далее).

Современные МКЭ возникли в 50 - е годы XX века при решении задач теории упругости.

Самая распространенная статическая задача — задача о нагруженной конструкции

а область Ω — сложная. Например, область может иметь вид, представленный на рис. 7.1. Каждая простая подобласть — конечный элемент.

В настоящее время под МКЭ понимают целые семейства вариационных (Ритца) и проекционных (Галеркина или Бубнова - Галеркина) методов.

43. Метод Бубнова-Галёркина.

Рассмотрим две задачи:

	(7.1)
			(7.2)

По - прежнему рассматриваем задачи (7.1) и (7.2).

В дальнейшем будет рассмотрен класс дифференциальных операторов. Главный недостаток метода Ритца — применимость лишь к дифференциальным задачам, допускающим вариационную формулировку, т.е. в линейном случае — самосопряженный положительно определенный оператор (все собственные числа положительны).

Наряду с формулировкой (7.1) и (7.2) будем использовать запись, определяющую слабое (обобщенное) решение:

(7.8)

где v — любая функция из рассмотренного ранее функционального пространства , а скалярное произведение определено как

Равенство (7.8) определяет обобщенное решение задачи. Известно, что если u — классическое решение задачи, то оно является обобщенным решением в смысле (7.8). Обратное, по понятным причинам, неверно — в "больше" функций, чем в C¹ или C² . У задачи может существовать обобщенное решение, но не существовать классического.

Рассмотрим конечномерное подпространство пространства с введенным базисом:

— базисные функции в они обязаны обладать теми же свойствами, что и базисные функции для метода Ритца. Рассмотрим теперь для (7.8) конечную систему весовых функций из Вместо (7.8) рассмотрим конечную систему проекций на весовые функции.

Введем также обозначение

(7.9)

здесь R — невязка. Тогда, после подстановки разложения по базисным функциям в (7.8), получим систему соотношений

(7.10)

Минимум невязки в пространстве, определяемом функциями достигается тогда, когда невязка принадлежит его ортогональному дополнению: для всех k . Теперь надо потребовать, чтобы весовые функции образовывали базис в . Естественно в качестве весовых функций использовать уже имеющиеся базисные . Тогда получаем проекционный метод Галеркина.

В итоге для определения коэффициентов разложения по базису из конечных элементов имеем систему соотношений вида