4.2.Расчет магнитостатического поля соленоида

Поле на оси элементарного витка с током рассчитывается по формуле

, (4.0) где B – индукция магнитного поля, Тл; I – ток элементарного витка, А; a – радиус витка и z – расстояние от центра витка вдоль оси, м.

Подставляя в (4.3) значение магнитной постоянной вакуума ₀ и выражая линейные размеры в сантиметрах, получим для поля B₀ в центре витка при z = 0

. (4.0)

Используя такие же обозначения, как в (4.4), выражение (4.3) можно привести к виду

, (4.0) где B_z – индукция магнитного поля, Гс; a – радиус витка и z – расстояние от центра витка вдоль оси, см.

Выражение (4.5) можно использовать в качестве основы для расчета поля соленоида. Так, например, в центре тонкого однослойного соленоида, длина которого 2b, значение поля получается в результате интегрирования (4.5) по цилиндрической поверхности радиуса a от –b до +b:

(4.0) где N – число витков;   b/a.

Далее, интегрируя по радиусу от a₁ до a₂ выражение (4.6), получим поле в центре толстого соленоида

, где j – плотность тока, определяемая как отношение суммарного тока через осевое сечение соленоида к площади осевого сечения S_сеч  2b(a₂  a₁),   a₂/a₁ и   b/a₁.

Последнюю формулу можно упростить, обозначив произведение всех безразмерных сомножителей, зависящих только от формы соленоида, как F( ) и назвав это произведение “коэффициентом поля”:

.

Тогда поле в центре толстого соленоида будет рассчитываться по формуле

.

Рис. 4.2. Представление соленоидов в виде двух соленоидов половинной длины

Это означает, что поле на конце любой катушки равно половине центрального поля катушки удвоенной длины (рис. 4.2). Тогда для расчета поля в произвольной точке z на оси соленоида можно заменить исходный соленоид двумя вспомогательными (изображены сплошными линиями), длины которых зависят от величины смещения точки z вдоль оси и вычисляются по формулам (  z/a₁) и ( – z/a₁). При этом интересующее нас поле определяется как результат суперпозиции полей на концах этих соленоидов, расположенных по разные стороны от точки A, т. е.

, где

Поле на оси системы соленоидов, разделенных воздушным промежутком G, можно рассчитать по аналогичной методике, используя 4 соленоида (рис. 4.3) и 4 “коэффициента поля”:

Рис. 4.3. Представление двух соленоидов в виде четырех половинок

В этом случае результирующее поле рассчитывается по формуле

.

4.3.Порядок выполнения работы

1. Составить программу для расчета магнитного поля двух соленоидов и построить с ее помощью график B_z(z, 0) в пределах от –(2b + G/2) до (2b + G/2). Подготовить данные для тестовой задачи, получив однородность магнитного поля в пределах –(b + G/2) до (b + G/2) путем изменения расстояния G между соленоидами. Записать значение индукции в центральной точке зазора B_z(0, 0).

2. Изучить инструкцию по работе с программой “Тесла”.

3. Заполнить шаблон исходных данных для магнитной системы двух соленоидов, соответствующих тестовой задаче. На границах сеточной области использовать следующие условия: на S границе , на E, N и W границах . Использовать сетку с постоянным шагом.

4. Решить задачу на двух сетках с количеством узлов 400 и 1600 для различных значений коэффициента верхней релаксации , фиксируя каждый раз количество проведенных итераций N_ит. Построить графики для каждой из двух сеток и найти для них _opt.

5. Исследовать погрешность численных расчетов. Для этого просчитать пять вариантов задач с количеством узлов n_уз= 100, 400, 900, 1600 и 2500, записывая каждый раз значение индукции в центральной точке зазора B_z(0, 0). Построить график . На графике провести горизонтальную линию, соответствующую значению B_z(0, 0) из решения тестовой задачи.

6. Исследовать погрешность численных расчетов, связанных с неточностью задания условий на границе сеточной области. Для этого на границах сеточной области E, N и W задать условие . Выбрать сетку с количеством узлов n_уз=1600. Получить решение задачи для 5 вариантов расположения границы сеточной области: z_гр = (mb + G/2), r_гр = na₂, используя для пары чисел (m, n) значения (3, 1.2), (4, 1.5), (6, 2), (10, 4) и (15, 6) и записывая каждый раз значения индукции в центральной точке зазора B_z(0, 0). Построить график . На графике провести горизонтальную линию, соответствующую значению B_z(0, 0) из решения тестовой задачи.

7. Задать исходные данные для половины магнитной системы, используя условие симметрии на границе E. Задать количество узлов сетки n_уз= 400. Провести расчеты, как в п. 4. Дополнить график этим вариантом.