5.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁, F₁, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а и меньшая, чем расстояние между фокусами 2с.

Поступая также, как и в случаи эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы: (5.3.1), где в² = с² - а²

Гипербола изображена на рис 5.4.

Прямые и (5.3.2)

называются асимптотами. Эксцентриситет гиперболы равен (5.3.3)

Для любой гиперболы >1. Гиперболы определяемые уравнениями

и (5..3.4)

называются сопряженными.

На рис. 5.4 изображена пунктиром гипербола

5.4. Директрисы эллипса и гиперболы

Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстояние и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 5.5 и 5.6).

Таким образом, и у эллипса и у гиперболы - две директрисы. Уравнение директрис d₁, d₂ (соответствующих фокусам F₁, F₂) будет соответственно

(5.4.1.)

Для эллипса ( <1) директрисы удалены от центра на расстояние, большее а.

Для гиперболы ( >1) директрисы удалены от ее центра на расстояние, меньшее а.

5.5. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом параболы, и фиксированной прямой, называемой ее директрисой.

Каноническое уравнение параболы: y²=2рх, (5.5.1)

где р- расстояние от фокуса до директрисы.

Парабола показана на рис. 5.7

Уравнение директрисы: (5.5.2)

Эксцентриситет параболы =1.

5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Уравнение в полярных координатах параболы, эллипса и (ветви) гиперболы имеет вид:

r (5.6.1)

где r- полярный радиус точки М.

 - угол наклона FM к полярной оси, т.е. полярный угол, величина р - фокальный параметр кривой - длина перпендикуляра, восстановленного из фокуса до пересечения с кривой. Фокальный параметр эллипса и гиперболы есть ; (5.6.2)

Для параболы фокальный параметр есть число, равное расстоянию между фокусом и директрисой. (см. рис. 5.5: 5.6: 5.7)

Формула (5.6.1) используются во многих задачах прикладного характера.

5.7. Решение типовых примеров

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая его ось 2а=10 и эксцентриситет .

Решение: По формуле (5.2.4) с= а =5×0.8 = 4, а b находим из равенства b² = а² - с² = 25 - 16 = 9b =3. Подставляя найденные значения а=5, b=3 в уравнение (5.2.2), получим искомое уравнение эллипса

Пример 2. Написать уравнение гиперболы по данной полуоси а = 1 и полуфокусному расстоянию с = 2.

Решение: Из равенства а² + b² = с² найдем полуось b: 1 + b² = 4 b = .

Искомое уравнение гиперболы будет иметь вид

Пример 3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х = -5у²

Решение: Перепишем уравнение так: и, сравнивая его с уравнением у² = -2рх, получим . Координаты фокуса и уравнение директрисы

Пример 4. Найти координаты вершины параболы, заданной уравнением х=у²+4у+1. Написать уравнение оси симметрии.

Решение: Найдем координаты вершины параболы: х = (у² + 4у + 4) - 4 + 1 х+3=(у+2)². Следовательно вершина параболы лежит в точке (-3,-2).

Уравнение оси параболы у = -2.

Пример 5. Найдите координаты точки М до поворота осей, если после поворота их на 135⁰ точка М имеет координаты (2,-3).

Решение: По формулам (4.2.1) преобразования координат получим:

х= 2 cos135⁰ - (-3) sin135⁰

y= 2 sin135⁰ +(-3) cos135⁰ ,

отсюда , , следовательно, координаты до поворота осей .