21. Асимптоты графика функции(вертикальные и наклонные)

22.Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей):

Теорема. Пусть функции f(x) и (x) имеют в окрестности точки x₀ непрерывные производные f '(x) и '(x) и пусть f(x₀) = (x₀) = 0 и (x) → 0, '(x) → 0 в окрестностях точки x₀, кроме, быть может самой точки x₀. Пусть далее существует предел . Тогда

   Доказательство. Зафиксируем близкое к x₀ значение x → x₀ и рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на интервале [x₀ , x] ибо f(t) и (t) дифференцируемы по условию и Ф(x₀) = 0 (так как f(x₀) = (x₀) = 0 и Ф(x) = 0.    Поэтому между x и x₀ найдется такая точка x, что Ф'(х) = 0, т.е. , откуда

     (1)

   Так как и при x→x₀ также Е→x₀, то , и согласно равенству (1) находим:

   Теорема доказана.    Если в окрестности точки x₀ функции f(x) и (x) имеют вторые производные, причем f '(x₀) = '(x₀) = 0 и '(x) → 0, ''(x) → 0, и существует , то, применяя правило Лопиталя к отношению , получаем

23.

Неопред.интеграл (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве X R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

f(x)=x² F(x)= x³/3+C.

Формула Ньютона – Лейбница.

Из теоремы о существовании первообр. можно получить формулу для вычисления определенного интеграла:

рассм. I(x)=^x_a(t)dt

из св-в первообр. следует, что любая другая первообр. F(x) ф-и (x) отличается от I(x) на const, т.е. имеет место равенство

I(x)=^x_a(t)dt=F(x)+C

полагаем x=a  I(a)=^a_a(t)dt=0=F(a)+C  C=–F(a) и

^x_a(t)dt=F(x)–F(a)

полагаем x=b  ^b_a(x)dx=F(b)–F(a) (2)

формула Ньютона-Лейбница

F(x) – какая-либо первообр. ф-и (x)

Определенный  можно вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, когда подынтегральная ф-я (x) имеет F(x) в классе элем. ф-й и при этом F(x) дифференцируема на [a,b].

24.

Непосредственное интегрирование, замена переменной. Непосредственное интегрирование при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применяя свойств интеграла, приводится к одному или нескольким табличным интегралам, наз. непосредственным интегрированием.

**** Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл не являяется табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к табличному.   Метод подстановки основан на применении следующей формулы:

где x=(t) - дифференцируемая функция от t, производная которой '(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.   Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле x=(t) и, следовательно, dx произведением '(t)dt.   Приведем доказательство этой формулы. Продифференцировав левую часть форммулы, имеем

  Продифференцировав правую часть форммулы, имеем

  Таким образом формула справедлива.   Часто употребляется обратная замена переменной, т.е. подстановка t='(x ), dt='(x)dx    Пример:   Необходимо найти интеграл

  Применим подстановку: u=arctg(x), тогда

  Подставляя полученные значения в искомый интеграл получим:

  Теперь подставив значение u в полученное выражение получим решение искомого интеграла:

25.