Примеры

• В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов   введение скалярного произведения по формуле   превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).

  • В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать^[1] ортонормированный базис 

при разложении векторов по которому:

,

 итд,

скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:

.

25) Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов   и   .

Очевидно, из определения скалярного произведения:

.

2. Для любого числа λ и любых векторов   имеем:

.

Для любых векторов   выполняется равенство  .

1. Для любого вектора   выполняется соотношение .

Действительно, так как  , то  .

Из этого свойства в частности следует  .

2. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

26) Ортонормированная система

Для любых элементов этой системы φ_i,φ_j скалярное произведение (φ_i,φ_j) = δ_ij, где δ_ij — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента   может быть вычислено по формулам:  , где  .

Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.

Наиболее известным является процесс Грама ― Шмидта, при котором по линейно независимой системе   строится ортогональная система   такая, что каждый вектор b_i линейно выражается через  , то есть матрица перехода от {a_i} к {b_i} ― верхнетреугольная матрица.

27) Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть   есть векторное пространство над полем   и   — базис в  .

Функция   называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где  , а   — некоторые элементы поля  .

Матрицу   называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля   не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть  .

 Канонический вид квадратичной формы 

     Квадратичная форма называется канонической, если все   т. е.

28) Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать   (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты  , но есть коэффициент  , отличный от нуля (для определённости пусть будет  ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через   обозначены все остальные слагаемые.

 представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных  .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что 

Второй случай заменой переменных   сводится к первому.