61.Определение производной, ее геометрический и механический смысл.

Производной функции у=ƒ(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Это равенство перепишем в виде V=S'_t, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной

ƒ'(х) = tg a = k,

т. е. производная ƒ'(х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ƒ(х) в  точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

62. Связь между непрерывностью и дифференциалом функции.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Пусть функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно, существует предел

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем ∆y/∆x=ƒ'(х)+а, где α→0 при ∆х→0, то есть ∆у=ƒ'(х)•∆х+а•∆х.

Переходя к пределу, при ∆х→0, получаем

А это и означает, что функция у=ƒ(х) непрерывна в точке х.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Производная у'=ƒ'(х) непрерывной функции у=ƒ(х) сама не обязательно является непрерывной.

Если функция у=ƒ(х) имеет непрерывную производную у'=ƒ'(х) в некотором интервале (a;b), то функция называется гладкой.

63. Правила дифференцирования.

1) (u +v – w)´= u´ +v´ – w´

2) (u·v)´= u´v+uv´

3) (u/v)´= (u´v+uv´)/v² v≠0

4) Если функция u=φ(х) дифференцируема в точке х0, а функция у=f(u) дифференцируема в точке u0=φ(х0), то сложная функция у=f(φ(х)) дифференцируема в точке х0, при этом у´u(u0)u´x(x0)

64. Производные основных элементарных функций. Производные гиперболических функций. Таблица производных.

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:

 — гиперболический синус;

 — гиперболический косинус («цепная линия»);

 — гиперболический тангенс и котангенс, где е — неперово число.

53. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c²≠0.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0, следовательно, по теореме 5 , или .