§12. Несобственный интеграл второго рода.

y

Как уже отмечалось выше для неограниченной на отрезке [a, b] ф-и интеграл Римана смысла не имеет. Обобщим понятие определенного интеграла на ф-ю f(x) неограниченную на полуинтервале [a, b), но ограниченную и интегрируемую на любом отрезке [a, b-ε], 0<ε<a. Рассмотрим ф-ю F(ε)= . (1)

Перейдем в (1) формально к пределу при ε→0

F(ε)= = . (2).

Символ = называют несобственным интегралом 2-го рода. При этом, если предел (1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел бесконечный или не сущ., то расходящимся. Точку x=b называют особой.

Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой является левый конец отрезка [a, b] или внутренняя точка x=c отрезка [a, b].

= = ,

= ( + ). (3)

Величины ε1 и ε2 →0 независимо друг от друга.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Пусть α=1. Тогда = =- ln(b-x) = (ln(b-a)-lnε)=∞ => ряд расходится.

Пусть α≠1. Тогда = = = ( - ) => Сходится, если α<1. Расходится, если α>1.

Вывод: при α<1 интеграл сходится, при α≥1 интеграл расходится.

При некоторых ограничениях на ф-ю f(x) несобственный интеграл 2-го рода сводится к несобственному интегралу 1-го рода.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b) и b – особая точка. В интеграле сделаем замену.

= = . (4)

Перейдем в (4) к пределу при ε→+0. Получим

= . (5)

Таким образом данная замена переводит несобственный интеграл 2-го рода в несобсвенный интеграл 1-го рода. Ясно, что если интеграл в левой части (5) существует, то существует и интеграл в правой части (5), и наоборот. Все признаки сходимости, доказанные для несобственного интеграла 1-го рода, справедливы (с нек. исправлениями) и для интеграла 2-го рода. Правила интегрирования также остаются прежними.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Согласно (2) имеем = = = (xlnx-x) = = (-1-εlnε+ε)=-1- =-1- =-1.

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Доопределим подыинтегральную ф-ю в точке x=0, т.е. положим =0. Особой точкой является x=1. Найдем предел = x=1. Это означает эквивалентность функций в точке x=1, т.е. ~ при x→1. Согласно предельному признаку сравнения интеграла и ведут себя одинаково. Но интеграл расходится (см. пр. 1), => и данный интеграл расходится.

П 18. Главное значение несобственного интеграла.

Пусть ф-я f(x) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом конечном отрезке числовой оси. Тогда

= (1) –

несобственный интеграл 1-го рода. Напомним, что a и b стремятся к ∞ независимо друг от друга. Положим теперь b=-a. Если существует предел , то говорят, что несобственный интеграл сходится по Коши, а его значение называют главным значением несобственного интеграла по Коши и обозначают

V.P. = . (2)

Ясно, что если интеграл (1) сходится, то он сходится к этому же значению по Коши. Однако интеграл (1) может расходится, но иметь главное значение по Коши.

Пример 1. - расходится (см. пр.2 §9). Найдем его главное значение.

V.P. = =- (cosa-cos(-a))=0.

Теорема 1. Если ф-я f(x) нечетная и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, то ее главное значение равно нулю.

Док-во. = + = = - = =0, т.к. f(t) нечетная V.P. = =0. Теорема доказана.

Если любая особая точка c внутренняя для отрезка [a, b], то главное значение интеграла по Коши можно ввести и для несобственного интеграла 2-го рода.

V.P. = ( + ). (3)

Пример 2. Интеграл , a<c<b расходится (см. пр.1 §12). Найдем его главное значение. V.P. = ( + )= (ln|x-c| +ln|x-c| )= (lnε-ln|a-c|+ln(b-c)-lnε)= .

Пример 3. Интеграл расходится. Найдем его главное значение. V.P. = ( + )=- ( + )=- (- + +1- )=-∞. Главное значение данного интеграла не существует.

36