10. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между ними.

1)L перепендикулярно π <=> n,s(векторы)-коллениарны<=> A/m=B/k=C/p

2)L параллельно π <=> n перепендикулярно s <=>(n.s)=0

3)L принадлежит π <=> n перпендикулярно s и M0(x0,y0,z0) пренадлеждит π

4) Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её ортагональной проэкцией на плоскость

11. Понятие эллипса. Каноническое уравнение. Координаты фокусов. Построение эллипса по его каноническому уравнению. Эксцентриситет.

Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек F1, F2 называемых ФОКУСАМИ есть велечина постоянная равная 2а(а>0)

Каноническое уравнение Эллипса

Формула эллипса определяется величеной Ɛ= называется эксцентриситет, Ɛ характеризует меру сжатия эллипса.

12.Понятие гиперболы. Её каноническое уравнение. Асимптоты. Построение гиперболы. Эксцентриситет.

Гиперболой называется множество точек плоскости модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек F1,F2 - фокуоы, есть величена постоянная равная 2а(а>0)

Каноническое уравнение гиперболы

Асимптота - это прямые к которым неограничено близко приблежаются точки гиперболы, при удалении в бесконечность от начала кординат

Ɛ= характеризуют меру сжатия гиперболы к оси ОХ

13. Понятие параболы. Построение параболы по её каноническому уравнению (4 случая).

Пораболой называется множество точек плоскости равноудалённых от точки F называемой фокусом и прямой d называемой директриссой

Каноническое уравнение параболы

при построении параболы рекомендуется получить из уравнение параболы одну, две точки для того чтобы определить размер ветвей

15. Параллельный перенос. Вывод формулы перехода от одной системы координат к другой в случае параллельного переноса.

Если изменить начало кординат оставить базис не изменным, то такое преобразование системы кординат называют ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ

16. Поворот системы координат. Формулы перехода.

Поворот системы кординат

изменим базис оставив начало кординат неизменным для этого повернём его на угол β по отношению к старому базису, новый базис порождает новую систему кординат

17. Понятие цилиндрической поверхности. Эллиптический, гиперболический, параболический цилиндры, пары пересекающихся или параллельных плоскостей.

Целиндрические поверхности

Пусть на кординатной плоскости ХОУ задана линия L уравнение которой F(x,y)=0 проведём через каждую точку линии прямые параллельные оси OZ полученная таким образом поверхность называется целиндрической. линия L называется направляющей, а прямые параллельные оси OZ образующими целиндрической поверхности

1)Эллиптический целиндр

2) Гиперболический целиндр

3) Параболический целиндр

=2px

4)Пара пересикающихся плоскостей

5)Пара параллельных плоскостей

18. Основные поверхности 2-го порядка: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус (уравнения и построение).

Основные поверхности 2 порядка

1) Эллипсоид - уравнение эллипсоида

2)Однополосный гиперболоид

3)Двуполосный гиперболоид

4)Эллиптический параболоид

5)Гиперболический параболоид

6)Конус

Введение в математический анализ.

1. Понятие функции. Четная, нечетная, периодическая, ограниченная, постоянная функции.

Функция — это закон или правило, согласно которому каждому  элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Функция f(x) называется четной на множестве Х,если для каждого х из Х f(-x)=f(x)

Функция f(x) называется нечетной на множестве Х,если для любого х из Х выполнено: f(-x)=-f(x)

Функция f(x) называется периодической на множестве Х,если существует константа Т: для любого х из Х f(x+T)=f(x).Наименьшее положительное число с таким свойством называется периодом.

Функция,определенная на множестве Х наз-ся ограниченной сверху(снизу) на этом множетстве,если существует М (m)для каждого х из Х выполнено f(x)≤M (f(x)≥m)/Функция, ограниченная на множестве Ч наз-ся ограниченной на этом множестве.

Функция,все значения которой = между собой,наз-ся постоянной и обозначается С.

2. Простейшие элементарные функции

1)Степенные ф-ии (y=x²)

2)Постоянная ф-ия (y=C)

3)Показательная ф-ия (y=a^x, a>0, a≠1)

4)y=log_ax (a>0, a≠1)

5)Тригонометрические ф-ии

6)Обратные тригонометрические ф-ии.

3. Понятие числовой последовательности, её предела. Сходящаяся, расходящаяся, ограниченная, монотонная последовательности.

Если каждому натуральному числу 1,2,….n поставлено в соответствие вещественное число х₁,х₂,…,х_n ,то полученное множество наз-ся числовой последовательностью.

Число а наз-ся пределом последовательности {x_n},если для каждого ε>0 существует N(ε) такой что: для каждого n> N(ε) выполнено |x_n-a|< ε. Обозначается предел lim x_n =a

Последовательность,имеющая предел,наз-ся сходящейся последовательностью.

Последовательность,не имеющая предела, наз-ся расходящейся последовательностью.

Последовательность {x_n}, наз-ся ограниченной,если она ограничена сверху и снизу.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

4. Понятие предела функции. Геометрическая интерпретация. Односторонние пределы. Теорема о связи предела и односторонних пределов.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х х₀, если для любого ε>0 существует δ (ε)>0 такое что: для всех х принадлежащем Д(y),удовлетворяющих неравенство 0<|x-x₀|<δ выполнено |f(x)-A|< ε.

Геометрический смысл: |x-x₀|<δ x₀- δ<x<x₀+ δ

- δ< x-x₀< δ xє(x₀- δ; x₀+ δ)

|f(x)-A|< ε A- ε< f(x) <A+ε

- ε< f(x)-A< ε f(x)є (A- ε; A+ε)

Если х попадает в интервал (x₀- δ; x₀+ δ),то соответствующее значение ф-ии попадает в интервал (A- ε; A+ε)

Предел слева наз-ют левосторонним пределом;предел справа-правосторонним.Оба этих предела наз-ся односторонними пределами

5. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функций. Сформулировать теоремы о свойстврх бесконечно малых функций.

Функция f(x) наз-ся бесконечно большой при х х₀ ,если lim f(x)=∞. ( х х₀ )

Функция f(x) наз-ся бесконечно малой,если lim f(x)=0 ( х х₀ )

Св-ва б.м. ф-ий:

1)Сумма двух б.м. ф-ий – есть б.м. ф-ия

2) Обратная б.м. ф-ии – есть б.б. ф-ия и наоборот.

3)lim f(x)=A (х →х₀) тогда и только тогда,когда f(x)=А+α(х),где α(х)-б.м. ф-ия

4)Произведение б.м. ф-ии на ограниченную ф-ию – есть б.м. ф-ия.

5)Произведение 2 б.м. ф-ий – есть б.м. ф-ия.

6)Произведение б.м. ф-ии на константу есть б.м. ф-ия.

7)Частное от деления б.м. ф-ии на ф-ию,lim≠0 – есть б.м. ф-ия.

6. Доказать теорему о пределе суммы двух функций.

Пусть lim f(x)=А (х→х₀), lim g(x)=B (х→х₀) Доказать: lim (f(x)± g(x))=А±В (х→х₀)

Док-во: lim f(x)=А (х→х₀), lim g(x)=B (х→х₀), то по свойству {lim f(x)=A (х →х₀) тогда и только тогда,когда f(x)=А+α(х),где α(х)-б.м. ф-ия} f(x)= А+α(х), g(x)=B+β(x), где α и β – б.м. ф-ии; f(x)± g(x)= А+α(х)± (B+β(x))=(А±В)+ (α(х)±β(х)) А и В – константы; α(х)±β(х) – б.м. ф-ии

По св-ву,описанному выше {…..} lim (f(x)± g(x))=А±В (х→х₀) Теорема доказана.

7. Доказать теорему о пределе произведения двух функций.

Пусть lim f(x)=А (х→х₀), lim g(x)=B (х→х₀) Доказать: lim (f(x)g(x))=АВ (х→х₀)

Док-во: т.к. lim f(x)=А (х→х₀), lim g(x)=B (х→х₀), то по свойству f(x)= А+α(х), g(x)=B+β(x), где α и β – б.м. ф-ии; f(x)g(x)= (А+α(х))(B+β(x))=AB+Aβ(x)+Bα(х)+ α(х)β(x); АВ-константы; Aβ(x),Bα(х),α(х)β(x)-б.м. ф-ии. lim (f(x)g(x))=АВ (х→х₀) Теорема доказана.

8. Сформулировать теоремы о пределах суммы, произведения, частного, о предельном переходе в неравенстве.

Теорема 4.3.1.

Пусть lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B, тогда lim _x˃x0 (f(x)±g(x))=A±B

Док-во:Т.к. lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B то по св-ву 1 š2 f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(x),β(x)-б.м.

f(x)±g(x)=(A+ α(x)) ±(B+ β(x))=( A±B)+( α(x)± β(x))

A±B=const

α(x)±β(x)-б.м. по св-ву 1 š2

По св-ву 1 š2 lim _x˃x0 (f(x)±g(x))=A±B док-во закончено=)

Теорема 4.3.2.

Пусть lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B→ lim _x˃x0 (f(x)g(x))=AB

Док-во: Т.к. lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B то по св-ву 1 š2 f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(x),β(x)-б.м.

f(x)g(x)=(A+ α(x)) (B+ β(x))= AB+ Bα(x)± Aβ(x)+ α(x) β(x) AB=const

Bα(x), Aβ(x) α(x), β(x)-б.м. по св-ву 5,6 š2

Bα(x)± Aβ(x)+ α(x) β(x)-б.м. по св-ву 2 š2

По св-ву 1 š2 lim _x˃x0 (f(x)g(x))=AB док-во закончено=))

Следствие:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 4.3.3.

lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B→ lim _{x˃x0 =} (B

Пример: lim _{x˃1 = =1}

Теорема 4.3.4.Теорема о предельном переходе в неравенства

Пусть а(ч)бр(ч)бп(ч)-опред. В некоторые окрестности точки x0 ,за исключением самой x0.

lim _x˃x0f(x)= lim _x˃x0g(x)=A, f(x) h(x) g(x) )= lim _x˃x0h(x)=A

9. 1 -й и 2-й замечательные пределы.

Первый замечательный предел: lim sinx/x=1 (х→0)

Второй замечательный предел: lim (1+1/х)^х=е (х→∞), lim (1+х)^1/х=е (х→0)

10. Сравнение бесконечно малых функций.

1) lim α(х)/β(x)=0 (х→х₀), то α(х)-б.м. ф-ия более высокого порядка,чем β(x),а β(x)-б.м. ф-ия более низкого порядка,чем α(х).

2) lim α(х)/β(x)=А≠0 (х→х₀) тогда α(х) и β(x) – б.м. ф-ии одного порядка.

3) lim α(х)/β(x)=1 (х→х₀) тогда α(х) и β(x) – эквивалентные б.м. ф-ии.

11. Эквивалентные бесконечно малые функции. Перечислить основные эквивалентности.

Основные эквивалетности:

1)sin α(х)~ α(х) 5)e^α(х)-1~ α(х)

2)tg α(х)~ α(х) 6) ln (1+ α(х))~ α(х)

3)arcsin α(х)~ α(х) 7) a^α(х)-1~ α(х) ln a

4)arctg α(х)~ α(х) 8)(1+ α(х))^m-1~ α(х)m

12. Понятие непрерывности функции в точке (2 определения), на интервале, на отрезке.

Фун-ия y=f(x) наз-ся непрерывной в точке х₀, если б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращения ф-ии.

Функция y=f(x) непрерывная в каждой точке интервала (а,в) наз-ся непрерывной на этом интервале.

Если ф-ия непрерывна на интервале (А,В) и на концах интервала выполнена lim f(x)=f(a) (х→а+0) и lim f(x)=f(в) (х→в-0), то ф-ия наз-ся непрерывной на отрезке (а,в)

13. Сформулировать теоремы об основных свойствах непрерывных функций.

Теор.1 Если f(x),g(x) непрерывны в точке x₀, то f(x)± g(x);f(x)g(x); f(x)/ g(x) ,где g(x₀)≠0, непрерывны в точке x_0.

Теор.2 Всякая элементарная ф-ия непрерывна в каждой точке,в которой она определена.

Теор.3 Если ф-ия u=φ(x) непрерывна в точке x₀,а ф-ия y=f(u) непрерывна в точке u₀= φ(x₀),то сложная ф-ия y=f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Теор.4 Непрерывная на отрезке ф-ия достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теор.5 Если ф-ия непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значение разных знаков,то существует точка сє(а,в): f(с)=0

Теор.6 Если ф-ия непрерывна на отрезке [а,в] f(а)=А, f(в)=В и С – любое число,заключенное между А и В,то существует сє[а,в]: f(с)=С

Теор.7 если ф-ия непрерывна на отрезке [а,в],то она ограничена на этом отрезке.

14. Доказать теорему о непрерывности суммы двух функций.

Докажем теорему для случая f(x)+ g(x). Т.к. f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀,то по определению непрерывности lim f(x)=f(х₀) (х→х₀), lim g(x)=g(х₀) (х→х₀).

lim (f(x)+ g(x)) (х→х₀)=lim f(x)+lim g(x) (х→х₀)=f(x₀)+g(x₀)=f(x)+g(x) - по определению непрерывности в х₀.

15. Точки разрыва. Их классификация.

Классификация точек разрыва:

1)Разрыв первого рода: а)Если lim f(x)= lim f(x)= f(x₀) (х→х₀-0) (х→х₀+0) причем односторонние пределы конечны,то х₀ – точка устранимого разрыва.

б)Скачок. Если lim f(x)≠ lim f(x) (х→х₀-0) (х→х₀+0) причем оба односторонних предела конечны,то х₀-точка скачка.

2)Разрыв второго рода.

Точки не являющиеся точками разрыва первого рода,наз-ся точками разрыва второго рода.В этих точках ф-ия не имеет хотя бы 1 из односторонних пределов = ∞.