Вопрос 26

Пусть функцияf(x) имеет производнуюf’(x) на интервале(a, b),

если в точке Xo на интервале ф-ция принимает мин или макс знач

=> f’(Xo)=0.

Вопрос 27

Теорема Рὁлля.

Если функция f (х) непрерывна на отрезке а ≤ х ≤ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает равные значения f (a) = f (b), то её производная f '(x) по меньшей мере один раз обратится в нуль в интервале (a, b),

        т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’(с) = 0. Как следствие получается, что между двумя последовательными корнями функции имеется хотя бы один корень её производной.

. Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (с) = 0 для любого с (a < с < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

Вопрос 28

Теорема Лагранжа.

Если f(x) непрерывна на [a;b] и дифференцируема на [a;b], то существует точка c, принадлежащая отрезку [a;b], такая что справедливо равенство

F(b)-f(a)=(b-a)*f `(c)

Доказательство:

Соединим AB

Начинаем двигать AB (До касательной параллельной AB)

Касательная параллельна AB => tgα=tgβ (α=β)

= f `(c) BD = f(b)-f(a) AD = b-a

Следствие.

Если f(x) имеет f `(x) на [a;b], то внутри промежутка найдется точка c, в которой будет выполнятся равенство (Формула конечного приращения):

Вопрос 29

Теорема Коши.

Пусть даны две функции С, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b)

- производные и не обращаются в ноль одновременно на интервале (a,b)

- тогда

, где C (a,b)

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля “(Теорема Ролля :Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.)” : на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

Вопрос 30

Правило Лопиталя. Примеры.

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

На промежутке [a;b] заданы две функции и , имеющие производные, причём f(a)=g(a)=0. Т.к. эти фу-ции имеют производные, то они непрерывны, а потому и при .

Значит если предел отношения производных существует.

используя теорему Коши(Теорема Коши. , где C (a,b) ), получим , где a < c < x

Ясно, что при , поэтому

Но

Значит,

Примеры :

1.)

2.) = “можно применить правило Лопиталя 3 раза (а лучше разделим на x ³)”

=

Вопрос 32

32.Экстремум- значение функции в точке максимума(минимума).Достаточное условие экстремума-ЕСЛи дифферинцируемая ф-ция у=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна нулю: f`(x0)=0

Экстремумы, их необходимые и достаточные условия

1 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),

Что для∀ x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x).

2 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),

Что для ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x).

Теорема о необходимом условии экстремума:

Если дифференцируемая функция f(x) в точке x₀ имеет экстремум, то f’(x)=0.

Это равенство необходимо, но не достаточно для сущ экстремума в точке x₀,

Т.к если при переходе ф-ции через точку x₀ знак производной не поменяется =>

Значит функция продолжает убывать или возростать и в этой точке нет ни min ни max!

Теорема о достаточном условии экстремума:

Если производная f’(x) меняет знак с + на - ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀

ф-ция f(x) имеет max.

Если производная f’(x) меняет знак с - на + ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀

ф-ция f(x) имеет min.