Определение

Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n + ... может сходиться лишь в том случае, когда член u_n (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Достаточное: признак Даламбера (предел отношения n+1 и n членов ряда должен быть менее 1 - ряд сходиться, больше 1 - расходится, равен 1 фиг его знает, нужно применить другой метод). lim An+1/An = k<1 , n->oo(бесконечность) - ряд сходиться. Если не помогло, то интегральный признак сходимости ряда Коши, заменяем ряд непрерывной функцией(вместо n ставим х и интегрируем от 0 до бесконечности, ели данный интеграл существует, то и ряд сходиться)

Билет 19.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство то данный ряд сходится. Радикальный признак Коши/рамка