6.2. Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 6.1. 

Сумма, разность, произведение двух функций, непрерывных в точке x0, непрерывны в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть f(x),φ(x)∈C(x0). Докажем, что f(x)+φ(x)∈C(x0).

По условию, limx→x0f(x)=f(x0), limx→x0φ(x)=φ(x0). Используя  теорему 4.12 о пределе суммы двух функций, найдем

limx→x0(f(x)+φ(x))=limx→x0f(x)+limx→x0φ(x)=f(x0)+φ(x0).

Следовательно, предел функции (f(x)+φ(x)) в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е. f(x)+φ(x)∈C(x0), что и требовалось доказать.

■

Для разности и произведения двух функций теорема доказывается аналогично.

Теорема 6.1 верна для алгебраической суммы и произведения любого числа функций.

Рассмотрим функцию y=x с областью определения Dy=R. Для любого x0∈R имеем limx→x0x=x0(см.  замечание 3.1). Следовательно, функция y=x непрерывна в каждой точке числовой оси. Из  теоремы 6.1 следует, что функция y=xn, n∈N, и любой многочлен Pn(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 суть также непрерывные функции в каждой точке числовой оси.

Теорема 6.2. 

Частное двух функций, непрерывных в точке x0, непрерывно в этой точке при условии, что знаменатель не равен нулю в точке x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть функции f(x), φ(x) непрерывны в точке x0 и φ(x0)≠0. Тогда по  теореме 4.13 limx→x0f(x0)φ(x0)=limx→x0f(x)limx→x0φ(x)=f(x0)φ(x0) (φ(x)≠0), что и требовалось доказать.

■

Рациональная дробь Pn(x)Qm(x), где Pn(x) и Qm(x)− многочлены степени n и m соответственно, непрерывна в каждой точке x0 числовой оси, где Qm(x0)≠0. Например, функция y=x2+5x+3x2−1непрерывна на всей числовой оси, за исключением точек x1=1 и x2=−1, в которых знаменатель дроби x2−1=0.

Теорема 6.3. 

Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0)≠0, то существует окрестность точки x0, в которой функция f(x) сохраняет знак.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию, f(x)∈C(x0), т.е.

∀ε>0 ∃δ>0:∀x, |x−x0|<δ⇒f(x0)−ε<f(x)<f(x0)+ε.

Возьмем ε=∣∣f(x0)∣∣2. Тогда

f(x0)−|f(x0)|2<f(x)<f(x0)+|f(x0)|2.

Если f(x)>0, то из левого неравенства следует

0<f(x0)2<f(x)  ∀x, |x−x0|<δ,

т.е. f(x)>0 ∀x∈Oδ(x0). Если f(x0)<0, то из правого неравенства следует

f(x)<f(x0)2<0  ∀x, |x−x0|<δ,

т.е. f(x)<0 ∀x∈Oδ(x0). Теорема доказана.

■

Теорема 6.4. (о непрерывности основных элементов функций)

Все основные элементы функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Теорема 6.5. (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции)

Пусть функция u=φ(x) задана на множестве Dφ, функция y=f(u)− на множестве Df и φ(x)∈Df. Если существует конечный предел limx→x0φ(x)=u0 и функция f(u) непрерывна в точке u0,то

limx→x0f(φ(x))=f(limx→x0φ(x)).(6.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию limu→u0f(u)=f(u0). Используя  теорему о пределе сложной функции, запишем

limx→x0f(φ(x))=limu→u0f(u)=f(u0).

Отсюда, учитывая, что limx→x0φ(x)=u0, окончательно получим

limx→x0f(φ(x))=f(u0)=f(limx→x0φ(x)).

Теорема доказана.

■

Из  теоремы 6.5 следует возможность перехода к пределу под знаком непрерывной функции, т.е. символы предела и непрерывной функции перестановочны.

Формула (6.2) есть обобщение формулы

limx→x0f(x)=f(x0)=f(limx→x0x)

(см.  замечание 3.1).

Теорема 6.6. (о непрерывности сложной функции)

Пусть функции u=φ(x), y=f(u) определены соответственно на Dφ и Df и φ(x)∈Dy. Если функция u=φ(x) непрерывна в точке x0∈Dφ, функция y=f(u) непрерывна в точке u0∈Df, где u0=φ(x0), то сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке x0. (Иначе — суперпозиция непрерывных функций есть функция непрерывная.)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию limx→x0φ(x)=φ(x0)=u0, Используя  теорему 6.5, получим

limx→x0f(φ(x))=f(limx→x0φ(x))=f(φ(x0)),(6.3)

что и означает непрерывность сложной функции f(φ(x)) в точке x0. Теорема доказана.

■

Пример 6.1.

Найти limx→π2lnsinx.

Р е ш е н и е.

 Функция u=sinx непрерывна в точке x0=π2, функция y=lnu непрерывна в точке u0=sinπ2=1. Следовательно, данная сложная функция непрерывна в точке x0=π2.По  формуле (6.3) найдём

limx→π2lnsinx=lnsinπ2=ln1=0.

Рассмотрим три предела — неопределенности вида [00], на основе которых получим некоторые соотношения эквивалентности бесконечно малых функций (см  табл. 5.1).

Пример 6.2.

Найти limx→0loga(1+x)x.

Р е ш е н и е.

 Перепишем функцию под знаком предела в виде loga(1+x)x=loga(1+x)1x. Используя непрерывность логорифмической функции (см.  теорему 6.4 и  формулу (6.2)) и второй замечательный предел (см.  формулу (5.2)), получим

limx→0loga(1+x)x=limx→0loga(1+x)1x=logalimx→0(1+x)1x=logae.

В частности, при a=e имеем limx→0ln(1+x)x=1, или ln(1+x)∼x при x→0.

Пример 6.3.

Найти limx→0ax−1x (a≠1, a>0).

Р е ш е н и е.

 Полагаем t=ax−1, где t→0 при x→0. Тогда .x=loga(1+t). Учитывая  пример 6.2, найдем

limx→0ax−1x=limt→0tloga(1+t)=limt→01loga(1+t)t=1limt→0loga(1+t)t=1logae=lna.

В частности, при a=e получим limx→0ex−1x=1, или ex−1∼x при x→0.

Пример 6.4.

Найти limx→∞(1+x)p−1x (p∈ℤ, p≠0).

Р е ш е н и е.

 Обозначим t=(1+x)p−1, где t→0 при x→0 Из равенства (1+x)p=1+tимеем pln(1+x)=ln(1+t) Поэтому (1+x)p−1x=tx=tln(1+t)⋅pln(1+x)x. Используя пример 6.2, найдём

limx→∞(1+x)p−1x=limt→∞tln(1+t)⋅limx→0pln(1+x)x=plimt→0tln(1+t)⋅limx→0ln(1+x)x=p.

Отсюда limx→∞(1+x)p−1px=1, или (1+x)p−1∼px при x→0. Таким образом, доказаны все соотношения эквивалентности бесконечно малых функций из  табл. 5.1 для функцииa(x)=x, a=0 (см.  формулу (5.1),  типовые примеры 1-3 из § 5, примеры  6.2, 6.3 и  6.4).