Основное уравнение гидростатики

В ыделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат. Выберем в центре параллелепипеда точку А. Давление в этой точке равно p = f(x,y,z). Так как это давление является непрерывной функцией координат, то, разлагая ее в ряд Тейлора с точностью до бесконечно малых 1-го порядка, получим для давления на гранях 1 и 2, перпендикулярных оси х:

.

Силы, действующие на грани 1 и 2:

.

Пусть ускорение массовой силы задано вектором . Тогда проекция массовой силы на ось равна:

.

Условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось х:

.

Аналогично рассматриваем равновесии по осям y и z. Получим систему:

Это система уравнений Эйлера, полученная в 1755 г.

Умножим каждое из этих уравнений на dx, dy, dz и, сложив, получим:

.

Так как гидростатическое давление зависит только от координат x, y, z, то выражение в скобках представляет собой полный дифференциал функции р:

.

Тогда

. (1)

Это уравнение называют основным дифференциальным уравнением гидростатики.

Поверхность равного давления называют поверхностью уровня. Так как для этой поверхности p=const, то dp=0, и (1) имеет вид:

(2)

Из уравнения (2) находится уравнение поверхности уровня.

Свободная поверхность – это поверхность уровня, являющаяся границей жидкой и газообразной среды.

Пусть из массовых сил действует только сила тяжести. Вектор ее ускорения равен . Тогда из (1):

.

После интегрирования для однородной жидкости получим:

(3)

Это основное уравнение гидростатики.

Постоянную интегрирования С определим из условия на поверхности жидкости: при z = z₀ давление р = р₀:

.

Тогда (3) принимает вид:

или .

Величина h = z₀ – z представляет собой глубину погружения. Тогда:

.

Это другая форма основного уравнения гидростатики: величина давления жидкости в точке прямо пропорциональна вертикальной координате, то есть глубине погружения точки под уровень.

Дифференциальное уравнение поверхности уровня (2) в поле силы тяжести имеет вид:

.

После интегрирования: z = const, то есть для однородной жидкости, находящейся в состоянии покоя под действием силы тяжести, поверхности уровня являются горизонтальными поверхностями( в том числе и свободная поверхность.

Абсолютное и избыточное давление

Давление, отсчитываемое от абсолютного нуля, называют абсолютным р_абс. Абсолютный нуль давления соответствует отсутствию сжимающих напряжений.

Разность между абсолютным давлением р_абс и атмосферным р_а называют избыточным р_изб = р_абс - р_а.

Если р_абс < р_а, то вводится вакуумметрическое давление (вакуум): р_вак = р_а - р_абс. Тогда р_вак = - р_изб.

Максимальный вакуум возможен, если абсолютное давление станет равным давлению насыщенного пара: р_абс = р_нп, то есть р_{вак max} = р_а – р_нп. Если пренебречь давлением насыщенного пара р_нп, то р_{вак max} = р_а.

В технической системе для измерения давления используется техническая атмосфера: 1 ат = 9,8110⁴ Па  10⁵ Па.

Рассмотрим резервуар с жидкостью с абсолютным давлением на поверхности р₀ > р_а. Присоединим к резервуару на уровне точки А стеклянную трубку, открытую в атмосферу. Абсолютное давление в точке А со стороны трубки:

р_абс = р_а + gh, (4)

и со стороны резервуара:

р_абс = р₀ + gh₁ . (5)

Избыточное давление в точке А:

р_изб = р_абс - р_а = р_а + gh - р_а = gh > 0.

Обозначим р_изб = р_ман, тогда:

.

Высота h называется манометрической высотой и является мерой манометрического (избыточного) давления точке А. Стеклянная трубка, открытая с одного конца и присоединенная к резервуару другим концом, представляет собой простейший прибор для измерения давления – пьезометр.

Если приравнять (4) и (5), то получим:

р_а + gh = р₀ + gh₁.

Тогда:

.

.

Таким образом, разность уровней в трубке и резервуаре является мерой манометрического (избыточного) давления на свободной поверхности в резервуаре.

П усть абсолютное давление на свободной поверхности в резервуаре меньше атмосферного р₀ < р_а. Тогда уровень в пьезометре опустится относительно свободной поверхности на величину h_вак. Для свободной поверхности в трубке будем иметь:

р_а = р₀ + gh_вак.

р_вак = р_а - р₀ = gh_вак.

.

Таким образом, вакуумметрическая высота h_вак является мерой вакуума в резервуаре.