27. Оценка точности в равноточных измерениях

Точность измерений - качество результата измерений, определяющее близость погреш. величины к точному значению, получение результата правильного при геодез. измерениях.

Точность результатов многократных измерений одной и той же величины

оценивают в такой последовательности. Находят вероятнейшее значение

измеренной величины по формуле арифметической средины. Вычисляют отклонения каждого значения измеренной величины от значения

арифметической средины.

По формуле Бесселя вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного

измерения. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошубку арифмет

средины. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную

ошибку каждого измерения и арифметической средины. При необходимости

подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить

допустимым значением ошибок аналогичных измерений.

m = √ [V ²] / (n – 1).

где V- вероятнейшая погрешность,

N – число измерений

Формула называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.

В практике геод. работ часто возникает необходимость найти среднюю

квадратическую ошибку функции, если известны средние квадратические ошибки её аргументов, и наоборот.

Рассмотрим функцию общего вида F= f (x y z …. U)

дге x y z – независимые аргументы, полученные из наблюдений или проектного

расчета со средними квадратическими ошибками mx my mz соответственно. Из

теории ошибок измерений известно что средняя квадратическая ошибка функции

независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов

произведений частных производных функций по каждому из аргументов на

средние квадратические ошибки соответствующих аргументов.

28. Средняя квадратическая погрешность функции измерения величин

В геодезии часто нужно определить точность не только самих измеренных величин, но и их функций. Например, горизонтальное проложение линии является функцией наклонности расстояния и угла наклона, площадь определяемая планиметром является функцией отсчетов по планиметру и т. д. Поэтому важно уметь вычислять средние квадратические погрешности функций.

Рассмотрим некоторые виды функций.

1 Функция суммы двух аргументов

φ = Х + Y, (4.19)

где Х и Y – независимо измеренные величины.

Допустим, что каждая из этих величин измерялась n раз и каждое из измерений сопровождалось случайными погрешностями Δ_Х и Δ_Y. Тогда и функция φ, вычисленная по формуле (4.19), будет иметь погрешность Δ_φ:

φ + Δ_φ = (X + Δ_X) + (Y + Δ_Y) или Δ_φ = Δ_Х + Δ_Y. (4.20)

Возведем равенство (4.20) в квадрат:

Δ = Δ + Δ + 2Δ_X Δ_Y. (4.21)

Таких равенств может быть получено n. Сложив их и разделив на n, получим

[Δ ] / n = [Δ ] / n + [Δ ] / n + 2[Δ_XΔ_Y] / n. (4.22)

На основании четвертого свойства случайных погрешностей величина [Δ_X Δ_Y] как сумма случайных погрешностей будет стремиться к нулю. Тогда с учетом равенства (4.5) будем иметь: m = m + m . (4.23)

Нетрудно убедиться, что формула (4.23) будет верна и для функции

φ = X –Y. (4.24)

Аналогично предыдущему можно доказать, что для функции суммы (разности) нескольких аргументов

φ = ±Х ± Y ± Z ± … ± U. (4.25)

Квадрат средней квадратической погрешности этой функции будет равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей аргументов:

m = m + m + m +…+ m . (4.26)

Если m_X = m_Y = m_Z = …=m_U, а число измеренных величин X, Y, Z, …, U равно n, то

m = nm² или m_φ = m√ n, (4.27)

т. е. средняя квадратическая погрешность суммы равноточно измеренных величин в √n раз больше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

2 Функция линейного вида

φ = КХ,

где К – постоянное число;

Х – аргумент, полученный из измерений.

Если Х будет измерен со случайной погрешностью Δ_Х, то функция будет иметь случайную погрешность

Δ_φ = К Δ_X. (4.29)

Измерив аргумент n раз, можно составить n уравнений (4.29), взять сумму их квадратов и разделить на n. После чего получим

[Δ ] / n = K² [Δ ] / n или m = K² m , (4.30)

откуда

m_φ = K m_X . (4.31)

Аналогично предыдущему можно показать, что для функции

φ = ± K₁X ± K₂Y ± … ± K_nU (4.32)

получим

Δ_φ = K₁Δ_X ± K₂Δ_Y ± … ± K_nΔ_U (4.33)

или

m = (K₁m_X)² + (K₂m_Y)² + … + (K_nm_U)². (4.34)

3 Функция общего вида

φ = f (X, Y, Z, … ,U), (4.37)

где X, Y, Z, … ,U – независимо измеренные величины.

С учетом случайных погрешностей функция (4.37) примет вид

φ + Δ_φ = f (X + Δ_X; Y + Δ_Y ; Z + Δ_Z ; …; U + Δ_U). (4.38)

Разложив функцию (4.38) в ряд Тейлора и ограничившись только первыми степенями случайных погрешностей, получим функцию

Δ_φ = (∂f/∂x) Δ_X + (∂f/∂y) Δ_Y + (∂f/∂z) Δ_Z + … + (∂f/∂u) Δ_U, (4.39)

где (∂f/∂x), (∂f/∂y), …, (∂f/∂u) – частные производные, которые для функции

(4.39) являются постоянными величинами.

Как видно, функция (4.39) аналогична функции (4.33). Следовательно, квадрат ее средней квадратической погрешности

= (∂f/∂x ∙ m_X)² + (∂f/∂y ∙ m_Y)² + (∂f/∂z ∙ m_Z)² + … + (∂f/∂u ∙ m_U)². (4.40)