22. Фундаментальная система решений.
Совокупность решений однородной системы (2), определенный и линейно независимыми в интервале , называется фундаментальной системой решений в интервале .
Кратко,
,
,
(19).
Теорема:
Система (2) всегда имеет ФСР в области непрерывности коэффициентов системы.
Возьмём и построим решений
,
,
… (20)
,
со следующими начальными условиями:
,
,…,
,
при
,
,…,
,
при
…… (21)
,
,…,
,
при
Вронскиан
решений (20) в точке
равен
единице.
Следовательно, совокупность решений (20) линейно независима и является ФСР.
Из
доказательства теоремы следует, что
фундаментальных систем существует
бесконечное множество. Построенная
фундаментальная система (21) называется
нормированной в точке
.
Для каждой точки
существует только одна нормированная
в этой точке ФСР.
23. Построение общего решения.
Знание ФСР даёт возможность построения общего решения системы (2).
Основная теорема:
Если
,
,
есть фундаментальная система решений
в интервале
,
то формулы
,
(22), где
произвольные
постоянные, дают общее решение системы
в области
,
,
.
Действительно,
система (22) разрешима относительно
,
так как
,
кроме этого совокупность функций (22)
является решением системы (2), что
соответствует определению общего
решения нормальной системы дифференциальных
уравнений. Чтобы найти частное решение,
удовлетворяющее условиям
при
нужно подставить эти условия в систему
(22).
,
(230
находим
,
откуда следует, что
,
(24) – есть искомое решение.
24. Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную фср.
Дано , ; (25)
Подставляем
поочерёдно решения (25) в
ое
уравнение системы (2)
,
,
получим
,
, (26)
Отсюда
определяются все
,
единственным
образом.
Эту систему можно записать:
(27)
Пример:
,
,
, 
,
, 
25. Общее решение неоднородной системы.
Теперь рассмотрим неоднородную систему (1): , . (1)
Введём
новые функции
:
,
(28),
где
- решение неоднородной системы (1).
Подставляя
(28) в систему (1), получаем:
,
(29)
Или, учитывая, что - решение неоднородной системы (1), получаем:
,
(30)
(30)
– есть однородная система, соответствующая
системе (1), общее решение которой имеет
вид:
,
(31)
Таким образом, подставляя (31) в (28) получаем:
,
(32)
Это формула есть общее решение системы (1) во всей области задания системы.
26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Теорема:
Если известна ФСР однородной системы (2), то общее решение неоднородной системы (1) может быть найдено при помощи квадратур.
Будем искать решение неоднородной системы (1) в виде:
,
(33)
где
ФСР однородной системы (2), а
неизвестная
непрерывно дифференцируемая функция.
Подставим (33) в (1), получаем:
или
или
,
(34)
Решая систему (34), определитель которой в интервале , получаем
,
,
(35)
Подставляя (35) в выражение (33) получаем
,
(35)
Пример:
Решая соответствующую однородную систему, получаем:
ЛЕКЦИЯ 9: