19. Соленоидальные поля. Условие соленоидальности.

Векторное поле называется соленоидальным, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

Если это условие выполняется для любых подобластей некоторой области W, то это условие равносильно тому, что равна нулю дивергенция векторного поля

20. Лапласово поле. Уравнение Лапласа.

21. Криволинейные ортогональные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты. В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в R²

22. Коэффициенты Ламэ. Элементы длины кривой, площади поверхности, объема

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

Принимая во внимание ортогональность систем координат (  при  ) это выражение можно переписать в виде

где

Положительные величины  , зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах q_i, представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

gij = 0 для i≠j

, то есть

23. Градиент, дивергенция и ротор в криволинейных координатах

Градиент

где H_i — коэффициенты Ламе.

Дивергенция

, где H_i — коэффициенты Ламе.

24. Градиент, дивергенция и ротор в сферических координатах

Градиент

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

Дивергенция

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

Ротор

где H_i — коэффициенты Ламе.

25. Градиент, дивергенция и ротор в цилиндрических координатах

Градиент

Коэффициенты Ламе:

Отсюда:

Дивергенция

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

26. Оператор Лапласа в криволинейных координатах

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом  . Функции   он ставит в соответствие функцию  .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции:  , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков)потенциального векторного поля   в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом  , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве  :

где   — коэффициенты Ламе.