3. Теорема об изменении количества движения механической системы

Производная по времени от количества движения системы материальных точек равна геометрической сумме действующих на систему внешних сил:

.

В проекциях на оси декартовых координат указанное равенство эквивалентно трем скалярным равенствам:

.

Закон сохранения количества движения системы:

1. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то главный вектор количеств движения системы постоянен:

.

2. Если сумма проекций внешних сил на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция на эту ось главного вектора количеств движения системы неизменна:

.

При решении задач посредством данной теоремы рекомендуется следующая последовательность действий:

1) дать анализ движения тел, входящих в изучаемую механическую систему;

2) изобразить на схеме все внешние силы (активные и реакции внешних связей);

3) выбрать систему координат;

4) записать теорему в проекциях на оси координат;

5) осуществить проверку закона сохранения количества движения системы в проекциях на оси координат. При выполнении закона сохранения следует приравнять между собой проекции системы главного вектора количеств движения системы в начальный и конечный моменты времени;

6) из полученного уравнения определить искомую величину.

3.1. Применение теоремы об изменении количества движения механической системы к решению задач

Пример 1

Прямоугольная пластина массой =10 кг движется по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью =7,5 м/с. В некоторый момент времени по каналу начинает двигаться точка массой =2кг с постоянным относительным ускорением =5 м/с2. Определить скорость пластины через 2 с после начала движения точки.

Решение.

1) Механическая система состоит из пластины, движущейся поступательно и прямолинейно вдоль оси , и точки , совершающей сложное движение (относительное – прямолинейное движение вдоль канала , переносное – поступательное движение вместе с пластиной).

2) Движение пластины происходит вдоль оси , поэтому для решения задачи применяем теорему об изменении количества движения системы в проекции на ось в дифференциальной форме:

.

3) На систему действуют внешние силы: силы тяжести и нормальная реакция гладкой поверхности. Имеем , следовательно , т.е. для двух положений механической системы выполняется условие: . Определим количество движения системы:

,

где – количества движения пластины и точки соответственно: , , с учетом абсолютной скорости точки получим:

.

В проекции на ось имеем:

.

В начальный момент времени относительная скорость точки , переносная , а количество движения системы:

.

В момент времени =2с точка имеет относительную скорость , м/с, а переносную , количество движения системы:

.

По закону сохранения количества движения системы:

,

.

Подставляя числовые значения, получаем:

м/с.