5. Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.

Матрица – прямоугольная таблица элементов.

= (a_ik), где i=1,2…n; k=1,2…n

(единичная матрица 2-го порядка)

(единичная матрица 3-го порядка)

Пусть (А) – квадратная матрица.

Если |A|=0, то матрица называется вырожденной.

Если |A|≠0, то матрица называется невырожденной.

Линейные операции над матрицами:

1. А+В=(a_ik+b_ik), где i=1…n, k=1…n

Матрицы одинакового порядка складываются поэлементно.

2. λ*А=λ*a_ik, где i=1…n, k=1…n

На число умножается каждый элемент матрицы.

Если есть общий множитель для всех элементов матрицы, то его можно вынести за знак матрицы.

3. Равенство матриц.

А=В  a_ik=b_ik, где i=1…n, k=1…n

Равенство определяется с точностью до всех элементов.

Транспонирование матриц.

А^т=(a_ki) – транспонированная матрица

А =(a_ik)

i=1…n

k=1…m

При транспонировании матрицы строки записываются как столбцы. Это соответствует повороту матрицы вокруг главной диагонали на 90^о.

Нетрудно доказать следующие свойства для транспонированных матриц.

1. (АВ)^т=А^т*В^т

При транспонировании произведения матриц можно перемножать транспонированные матрицы как одно целое.

2. (А^т)^т=А

3. (А+В)^т=А^т+В^т

Проверим последнее свойство на примере.

Вывод: ( на примере)

6. Умножение матриц. Основные свойства

Определение скалярного произведения строки на столбец:

Определение умножения матриц:

Пусть (А) имеет тип (m x p)

(B) имеет тип (p x n)

Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Тогда произведение матриц определяется по формуле:

Таким образом, произведение матриц получается при скалярном умножении строк матрицы А на столбцы матрицы В.

Пример:

Покажем, что в общем случае А*В≠В*А, т.е. умножение матриц некоммутативно.

Найти произведение матриц и

А*В≠В*А

Единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Основные свойства матриц:

1. А*(В*С)=(А*В)*С – ассоциативность

2. А*(В+С)=А*В+А*С

(А+В)*С=А*С+В*С – дистрибутивность

3. λ(А*В)=А*( λВ)

4. А*Е=Е*А=А – свойство единичной матрицы

5. Пусть О – нулевая матрица(все элементы равны 0)

А+О=О+А=А

В этих свойствах предполагается, что умножение и сложение определено, т.е. типы матриц соответствуют.

Вывод 2.:

(A+B)*C=A*C+B*C

(A+B)*C= =AC+BC

7. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице

Пусть М –множество квадратных матриц n-го порядка. Нетрудно проверить следующие свойства:

λ R A M => λ*A M

A, B M =>

-- единичная матрица.

А*Е=Е*А=А – основное свойство единичной матрицы.

Если определитель матрицы не равен ), то ее называют невырожденной. Для невырожденной квадратной матрицы можно определить обратную матрицу, которую обозначают А^-1 по следующей формуле.

А^-1= А^с – союзная матрица

Для образования союзной матрицы, алгебраические дополнения элементов строки матрицы А записывают как столбец матрицы А^с.

Вывод:

Пусть А – невырожденная матрица n-го порядка. Покажем А^-1*А=Е. Аналогично доказывается А*А^-1=Е. Введем вспомогательную матрицу типа С(k, l). С(k, l) – матрица, которая получается из матрицы А заменой k-го столбца на l-й столбец.

Е сли k≠l, то в этой матрице есть 2 одинаковых столбца. Если k=l, то матрица не меняется.

Найдем произведение , где k, l = 1…n

Приведем без доказательства основные свойства обратной матрицы:

1. (λ*А)^-1= , где λ – число

2. (А*В)^-1= В^-1* А^-1

Обратная матрица произведения двух матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке.

3. (А^-1)^т=(А^т)^-1

Пример:

Н аходим определитель матрицы:

det(A) = -4

Определяем элементы союзной матрицы:

Находим обратную матрицу:

Покажем, что А^-1*А=Е