10.11. Потенциалы в электродинамике.

1. Часто при решении задач электродинамики, оказывается, удобно перейти от рассмотрения полей к исследованию вспомогательных функций – векторному и скалярному потенциалам. Возьмем уравнения Максвелла в форме

(10.45) (10.46)

(10.47) (10.48)

Векторный потенциал вводится на основе (10.47) определением . Из (10.45) получаем

(10.48А)

где произвольная функция координат и времени. Для сред без дисперсии, когда , , уравнение (10.46) приводится к виду

.или

. (10.49)

Учитывая произвольность функции , можно выбрать ее на основе условия, называемого калибровкой Лоренца:

,

тогда (10.49) приводится к уравнению для векторного потенциала

. (10.50)

Используя уравнение (10.48) и условие калибровки Лоренца, получим уравнение для скалярного потенциала

. (10.51)

Для комплексных амплитуд гармонических полей получаются равнения

(10.52)

(10.53)

где - волновое число. Уравнения (10.50), (10.51) применимы для сред без дисперсии. Уравнения (10.52), (10.53) описывают не сами поля, а только их комплексные амплитуды (они также описывают Фурье – образы полей). Применимы равнения (10.52), (10.53) для сред с временной (частотной) дисперсией при , но при отсутствии пространственной дисперсии.

2. Вместо калибровки Лоренца можно использовать другую калибровку.

На основе (10.48) и (10.48А) для среды без дисперсии имеем

. (10.53.А)

Потенциал выберем так, чтобы имело место уравнение электростатики

(10.54)

При этом калибровка Кулона следует из (10.53.А)

, (10.55)

при этом получается следующее уравнение для векторного потенциала

, (10.56)

В уравнения для потенциалов (10.50), (10.51) и (10.54), (10.56) входят дополнительные неизвестные функции . Для замыкания системы необходимы уравнения, описывающие .

3. Вместо уравнений (10.46), (10.48) можно использовать другую их эквивалентную форму

Для изотропных сред без дисперсии имеется локальная алгебраическая связь . В такой ситуации уравнения для потенциалов с калибровкой Лоренца имеют вид

.

а с калибровкой Кулона они принимают форму

.

4. Для сред с параметрами можно ввести векторный потенциал Герца с помощью соотношения

.

При этом удовлетворяется калибровка Лоренца , если взять следующее представление для потенциала

.

Учитывая связи между полями

,

из (10.50) и (10.51) получим систему уравнений

Эта система будет выполнена, если вектор Герца удовлетворяет уравнению

(10.57)

Если потенциал Герца определен, то электромагнитное поле находится с помощью операции дифференцирования:

(10.58)

Учитывая уравнение (10.57) и соотношение , получим представление

. (10.59)

В формулах (10.58), (10.59) поля выражаются через вектор Герца с помощью операции . Это означает, что новый вектор (здесь - произвольная функция) не меняет поля . Вектор Герца обладает свойством градиентной инвариантности. Это свойство вектора Герца позволяет проводить дополнительное упрощение вычислений. В случае сред с временной дисперсией, но без пространственной дисперсии, возможно рассмотрение комплексных амплитуд для потенциалов. Для них получаются соответствующие уравнения при замене , .

10.12. Поле точечного и пространственно распределенного источников в однородной среде без дисперсии. Исследуем поле, возбуждаемое точечным нестационарным источником в виде заряда, плотность которого описывается функцией

.

В сферической системе координат .

Волновое уравнение для скалярного потенциала имеет вид

Задача обладает сферической симметрией, поэтому можно использовать однокомпонентный вектор Герца , который удовлетворяет уравнению (10.53.А)

В сферической системе координат, вне источника ( ) уравнение для скалярного потенциала имеет вид

.

С помощью введения новой неизвестной функции можно избавиться от первой производной по радиальной координате:

.

Общее решение этого однородного уравнения имеет вид суммы двух произвольных функций

,

где описывает волну, распространяющуюся в направлении , а функция описывает волну, приходящую из бесконечности. Мы решаем задачу о возбуждении поля локализованным источником. Это поле должно быть волной «расходящейся» (перемещающейся на бесконечность):

.

В случае статики и имеем закон Кулона

Определяющие параметры, описывающие задачу о нестационарной точечной заряженной частице , это: . Единственным параметром, который может зависеть от комбинации является заряд. Поэтому справедливо представление

.

Получаем выражение для скалярного потенциала .

Аналогично получается представление .

Конечно, эта формула может быть получена непосредственным решением уравнения (10.59.А).

При непрерывном распределении заряда (Рис.10.9) в силу принципа линейной суперпозиции потенциал такого объемного заряда можно представить в виде интеграла

, .

где - радиус-вектор точки наблюдения, - радиус-вектор точки интегрирования.

Интегрирование производится по объему, занимаемому распределенным источником, - точка наблюдения. Аналогично выглядит и решение для потенциала Герца

. (10.60)

10.13 Поле короткой линейной антенны. Антенна представляет собой линейный проводник, вдоль которого возбуждается переменный ток с определенным распределением по проводнику. Считается, что антенна достаточно тонкая. Рассмотрим линейную антенну в вакууме с возбуждением в центре (Рис.10.10). Считаем, что в антенне создан гармонический ток, плотность которого имеет только одну составляющую вдоль антенны. Для вектора Герца имеем неоднородное уравнение

.

Из уравнения видно, что однокомпонентный источник возбуждает только одну компоненту вектора Герца . Решение описывается формулой (10.60):

.

Используем факт малости антенны: , ( - расстояние от центра антенны до токи наблюдения , - длина волны в вакууме) (Рис.10.11). На основе первого неравенства можно воспользоваться разложением

.

Второе неравенство в случае гармонического источника позволяет упростить представление

где . Использование последнего разложения позволяет пренебречь различием в запаздывании волн от разных точек источника при распространении их в точку наблюдения. В результате приходим к приближенному описанию диполя Герца:

.

Объемный интеграл от плотности дипольного момента источника это полный дипольный момент источника

.

Получаем представление ,

где сделана замена . Это описание становится точным для идеализации источника в виде точечного диполя: .

Обычно задается ток на входе антенны, найдем связь его с дипольным моментом . Учтем, что и получим

.

- полный ток в антенне (Рис.10.12). На концах антенны ток равен нулю: . Введем понятие эффективной длинны антенны:

.

При этом имеем представления для дипольного момента и вектора Герца

, .

На основе последней формулы можно найти поля

.

Поле обладает осевой симметрией и в сферической системе координат не зависит от азимутального угла В этой системе координат (Рис.10.13) потенциал разбивается на две составляющие Представление в сферической системе координат имеет вид

Значит, у магнитного поля есть только азимутальная составляющая

Здесь - характеристический импеданс вакуума. Электрическое поле имеет две компоненты

Полученные формулы справедливы для малой линейной антенны, когда выполняются условия . Следовательно, в этих формулах нельзя переходить к пределу

Ближней зоне соответствует неравенство и справедливо приближенное описание

,

.

В этих формулах - вещественные функции. В ближней зоне электрическое поле «больше», чем магнитное и изменяется оно боле резко с изменением расстояния. Плотности энергии электрического и магнитного полей изменяются по законам

В дальней зоне при имеем , и главные компоненты имеют вид

В дальней зоне в каждой точке (локально) поле приближенно имеет вид плоской волны, причем .Поток энергии, переносимый волной направлен по радиусу от источника . Средний за период поток энергии через единичную площадку (плотность потока энергии) на расстоянии от источника определяется формулой

.

Этот же результат получается при использовании строгих формул.

Полный поток энергии от источника через сферическую поверхность радиуса будет постоянным:

.

Этот результат имеет место как в дальней зоне , так и в ближней зоне.

С другой стороны, этот поток можно представить в виде энергии, выделяемой током на некотором сопротивлении (его называют сопротивлением излучения антенны):

.

По существу это равенство является определением сопротивления излучения антенны. Учитывая, что , получим

Исследуем свойства фазовой скорости компоненты поля Используем представление

где

Введем обозначение .

Фазовая скорость - это скорость перемещения поверхности равной фазы. Уравнение этой поверхности Фазовая скорость находится из уравнения

Получаем

График фазовой скорости показан на Рис.10.14. Фазовая скорость отрицательна при (напомним, что полный поток энергии везде положителен и постоянен), в этой области формируется поле излучения. При выполнении условия фазовая скорость положительна и она стремится к скорости света при .

10.14. Принцип перестановочной двойственности. Источниками электромагнитного поля являются сторонние заряды и электрические токи. В случае материальных сред поля могут также возбуждаться источниками другой «природы». Эти источники присутствуют не в самих уравнениях Максвелла, а в уравнениях материальных связей (например, источники массы, импульса, энергии в уравнениях динамики плазмы). Известно, что в природе не существуют магнитные заряды и магнитные токи. По этой причине они не входят в уравнения Максвелла. Однако, для удобства решения ряда задач оказывается полезным ввести в уравнения Максвелла фиктивные магнитные источники зарядов и токов . Этим фиктивным источникам можно сопоставить эквивалентные реальные электрические источники. Такая процедура позволяет использовать полученные ранее решения для построения решений новых электродинамических задач с помощью простой замены (перестановки) параметров в этих готовых решениях. Запишем уравнения Максвелла с фиктивными магнитными и реальными электрическими источниками

(10.61) (10.62) , (10.63)

, (10.64) (10.65)

Напомним, что уравнения неразрывности (законы сохранения зарядов в источниках) (10.65) являются следствием (10.61), (10.62) при учете нулевых начальных условий.

Рассмотрим две задачи в случае однородных изотропных сред без дисперсии, когда справедливы локальные линейные материальные связи . Пусть в первой задаче источниками поля являются электрические заряды и токи, а во второй задаче поле создается магнитными источниками. Поле создается фиктивным источником . Поле и связаны соотношением перестановочной двойственности. Мы найдем реальный источник . Который создает такое же поле . В результате будет построено решение новой задачи с источником . Поле создается фиктивным источником . Мы найдем реальный источник который создает поле . Этой ситуации отвечают две системы

,

Эти системы уравнений обладают свойством перестановочности: если сделать замену

то полная система уравнений сохраняется. Таким образом, по известному решению первой задачи с помощью простой перестановки находится решение второй задачи. Следует обратить внимание на одну «тонкость». В решение первой задачи входит параметр - волновой импеданс среды. Он определяется неоднозначно относительно операции перестановки, так как возможны различные представления: . При первом определении перестановка не меняет знак , а при втором и третьем определении перестановка меняет знак . Решение контрольных задач показывает, что правильными определениями являются второе и третье.

На первый взгляд может показаться, что такая перестановочная двойственность не имеет практического значения, поскольку магнитный ток - это фиктивный источник, который не может создать поле. Однако, фиктивному магнитному источнику заданного вида можно сопоставить реальный электрический источник с соответствующим распределением плотности тока Таким образом, поле возбуждается реальным источником , поле создается фиктивным источником . Можно найти реальный источник , который возбудит поле .

И так, считаем, что для источника задача решена. С помощью процедуры перестановки находятся поля для фиктивного источника . Далее нужно найти реальный источник , который создает эти поля. Для того чтобы ответить на вопрос о нахождении напишем уравнения Максвелла для для двух видов источника и , возбуждающих одно и тоже поле :

(10.66)

(10.67)

Применяя операцию к первым уравнениям систем (10.66) и (10.67) и подставляя в них выражения для из вторых уравнений, получим два уравнения для

аналогично получаются уравнения для

Имеет место две формы эквивалентности электрических и магнитных источников

(10.68) (10.69)

Отметим, что соотношение (10.69) можно получить непосредственно из (10.68) сделав перестановку . Таким образом, решение задачи с фиктивным магнитным источником совпадает с решением задачи для реального электрического источника , связанного с соотношением (10.68) или (10.69).

Рассмотрим конкретный пример, когда - электрический диполь в виде цилиндра конечной длины.

Тогда это магнитный цилиндрический диполь конечного размера. Пусть диполь имеет вид цилиндра длины и радиуса , магнитный ток его ориентирован вдоль оси цилиндрической системы координат . Плотность магнитного тока возьмем в виде

,

где - площадь поперечного сечения цилиндра, - магнитный ток, - функция Хевисайда, определяемая соотношением

,

связь с функцией Дирака имеет вид При гармонической зависимости от времени на основе (10.68) получим электрический ток

,

это кольцевой ток (Рис.10.15), сосредоточенный на поверхности цилиндра радиуса Таким образом, получаем решение новой задачи. Точечный магнитный диполь эквивалентен рамке с током. Возможно продолжение такой процедуры и получение решений новых задач.