3.3. Интерполяция с помощью в-сплайнов

При интерполировании алгебраическими сплайнами моделируемая кривая является кусочной. Она состоит из отдельных алгебраических многочленов, гладко соединя-ющихся между собой в промежуточных точках, и её нельзя представить в едином виде линейной комбинацией неко-торых базисных функций, как в случае моделирования едиными алгебраическими полиномами. Использование специальных базисных сплайн-функций (В-сплайнов) по-зволяет использовать единое представление и в случае интерполяции кривых сплайнами.

Допустим, задан некоторый набор узловых значений параметра кривой {t_i}. j-тым сегментом назовём отрезок [t_j, t_j+1] . В – сплайн степени m , начинающийся на j-том сег-менте, обозначается как N_j,m (t) и занимает не только его, но и последующие до сегмента с номером ( j+ m+1 ) вклю-чительно.

В рекуррентной по степени m форме численное опре-деление В-сплайна имеет вид:

m=0 : N _j,0 (t) = (3.14).

m1 :

Каждый j – тый сегмент при заданной степени m пе-рекрывается ( m+1) В-сплайном -N_j,m(t), N_(j-1),m(t),…, N_(j-m),m (t). Таким образом, при наличии узлов t₀, t₁,…, t_n и, соответ-ственно, сегментов с 0-го по (n-1)-й для полного задания В-сплайнов на них необходимо ввести дополнительно:

а) узлы t_-m,…, t_-1 и, соответственно, сегменты с номерами (–m),…,(-1) (эти значения не должны попадать внутрь интервала [t₀, t_n] ) и

85

б) сплайны N_-m,m (t), …, N_-1,m (t), начинающиеся на этих сегментах.

Моделируемая В-сплайн функция в общем случае мо-жет быть представлена как :

Если рассмотреть конкретный интервал [t_k, t_k+1] , содержащий t , и исключить из суммы (3.15 а) все нулевые слагаемые, то она принимает вид:

Отсюда вытекает важное свойство В-сплайнов: значе-ние сплайн-функции P(t) степени m в фиксированной точке зависит только от m коэффициентов.

Рекуррентное соотношение (3.14) позволяет непо-средственно вычислять в текущей точке t значения всех В-сплайнов, принимающих в ней ненулевые значения. Допус-тим, t [t_j, t_j+1] и степень сплайна равна m. Рассмотрим последовательно вычисление сплайнов степени 0,1,…, m .

Степень 0. Из всех сплайнов нулевой стeпени на интервале [t_j, t_j+1] не равен нулю только N_j,0 (t) . По опре-делению N _j,0 (t) = 1 .

Степень 1. Не равны нулю на интервале [t_j, t_j+1] только N _j-1,1 (t) и N _j,1 (t). С учётом N _j-1,0 (t)=N _j+1,0 (t) = 0 получим:

86

Степень s (sm) . Для каждого значения степени s ненулевыми на интервале [t_j, t_j+1] являются N_j-s,s(t),N_j-s+1,s(t), …, N _j,s(t). С учётом N _{j-s, s-1} (t) = N _j+1,s-1 (t) = 0 получим:

Таким образом, нет необходимости предварительного расчёта и хранения вспомогательных величин.

После подстановки в выражение (3.15 а) узловых зна-чений параметра t получается система линейных уравнений относительно вектора неизвестных коэффициентов С_j ( j = –m ,…,-1,0,…,n)_. Для формирования системы необходимо доопределить значение функции P(t) на дополнительных узлах t_-m,…, t_-1 . Система уравнений может быть решена как стандартными методами, так и специальными методами, учитывающими диагональный характер получающейся мат-рицы.

В-сплайн поверхность может быть получена как де-картово произведение В-сплайнов по параметрам u и v:

87

где {Р_{i j} } - список характерных точек, расположенных в узлах прямоугольной двумерной сетки.

Задачи.

1. В чем принципиальное отличие локальных и интерполя-ционных сплайнов?

2. Построить локальные сплайны по следующим однократ-ным узлам:

а) n=2; х₀ =; х₁ = 2 ; х₂ = 3 ; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂ =3 ;

б) n=2 ; х₀ =-2 ; х₁ = 0; х₂ = 2; m =2; y₀ = -1 ; y₁ = 0 ; y₂ =1 ;

z_0,0 = 6; z_0,1 = 4 ; z_0,2 = z_1,0 = ; z_1,1 = 1 ; z_1,2 = 0 ; z_2,0 = z_2,1 =-1 ; z_2,2 =-3.

3. Построить сплайны Эрмита для следующих вариантов геометрических условий:

а) n=1; х₀ = 0 ; х₁ = 2 ; m =2; y₀ = - 1 ; y₁ = 0 ; y₂ =1 ;

z_0,0 = 4; z_0,1 = 2 ; z_0,2 = 1 ; z_1,0 = 3 ; z_1,1 = 5 ; z_1,2 = 6 ;

z^х_0,0 = 3; z^х_0,1 = -1 ; z^х_0,2 = 1 ; z^х_1,0 = 2 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 = 1 ;

z^у_0,0 = - 1; z^у_0,1 = 4 ; z^у_0,2 = 3 ; z^у_1,0 = -3 ; z^у_1,1 = 1 ; z^у_1,2 = 2 ;

б) n=2; х₀ = -3; х₁ = 0 ; х₂ =1; m =2; y₀ = -1; y₁ = 1; y₂ =2 ;

z_0,0 = 7; z_0,1 = 12 ; z_0,2 = z_1,0 = 5 ; z_1,1 = 4 ; z_1,2 = 1 ; z_2,0 = 6 ; z_2,1 = 3 ; z_2,2 =-1 ;

z^х_0,0 = 2; z^х_0,1 = -2 ; z^х_0,2 = -2 ; z^х_1,0 = -4 ; z^х_1,1 = -3 ; z^х_1,2 = z^х_2,0 = -2 ; z^х_2,1 = z^х_2,2 = -3 ;

z^у_0,0 = 3; z^у_0,1 =-2 ; z^у_0,2 =-2 ; z^у_1,0 = 1 ; z^у_1,1 = -3 ; z^у_1,2 =2 ; z^у_2,0 =-1 ; z^у_2,1 =-2 ; z^у_2,2 =3.

4. Построить при помощи метода прогонки сплайны Фер-гюсона для следующих вариантов задания геометрических условий:

а) n=2; х₀ = 0; х₁ =1; х₂ =3; y₀ = -1; y₁ = 3; y₂ =1 ; y₀ = y₂ =0 ;

б) n=2; х₀ = -2; х₁ =0; х₂ =1; y₀ = 2; y₁ = 1; y₂ =-2 ; y₀ = 2; y₂ =3.

88