7.1.2 Диметрические проекции

Центр проецирования диметрических проекций на-ходится на бесконечности, равноудаленной от двух из осей и неодинаково удалённой от третьей, поэтому два показателя искажения равны друг другу и не равны третьему, который не равен нулю. Коэффициент, равный отношению третьего показателя к двум первым, обозначим через k. Рассмотрим проекцию, в которой точка равно-удалена от осей x, у . При этом U = V, а W = kV.

Для определения коэффициентов искажения составим систему из трех уравнений, добавив дополнительное усло-вие: U² + V² + W² = 2.

U = V;

W = kV;

U² + V² + W² = 2.

Решением системы являются следующие значения:

. (7.3)

Рассмотрим определение матрицы диметрического проецирования M_д(U, V, W), соответствующей заданному коэффициенту k (и, соответственно, коэффициентам U, V, W (7.3)). Ее можно представить в виде произведения двух матриц поворота M_nx(φ) (вокруг x на некоторый угол φ) и M_ny(ξ) (вокруг y на некоторый угол ξ), а также матрицы M_оpz(0) ортогонального проецирования на плоскость z=0 :

M_д(U, V, W) = M_оpz (0) M_ny(ξ) M_nx(φ).

135

Определим, какие углы поворота ξ и φ необходимо задать, для того, чтобы выполнить диметрическую про-екцию с заданным коэффициентом k. Перемножая матрицы M_ny(ξ) и M_nx(φ), получим :

После ортогонального проецировании итоговая мат-рица преобразования примет вид:

Для того, чтобы связать коэффициент k и коэффициен-ты искажения U, V, W с углами ξ и φ, рассмотрим, как изменяются после умножения на полученную матрицу векторы, направленные вдоль осей. Векторы единичной длины по оси х (е_x = [1 0 0 1]), по оси у (е_y = [0 1 0 1] ) и по оси z (е_z=  0 0 1 1 ) преобразуются к векторам е_x , е_у , е_z следующего вида:

136

cosξ sin φ sinξ

0 cosφ

е_x' = M_де_x = 0 ;е_y ' = M_д е_y = 0 ;

1 1

cosφ sinξ

- sin φ

е_z ' = M_де_z = 0 .

1

Поскольку по определению U =е_х / е_х, V =е_y / е_y , W =е_z / е_z , то должны выполняться следующие условия:

( е_x') ² = cos ² ξ = U ²;

(е_y') ² = sin ²φ sin ²ξ + cos ²φ = V ²;

(е_z') ² = cos²φ sin²ξ + sin²φ = W ² .

Полученная система содержит три уравнения с двумя неизвестными. Из первого уравнения следует:

ξ = arccos U = arccos (7.4а)

Подставляя найденное значение во второе и третье уравнения, получим :

137

cos2φ = (V ² – W ²)/ cos ²ξ =(V ² – W ²)/ U ² = 1 – k²;

φ = 0.5* arccos[(V² - W²)/ U²]= 0,5*arccos(1-k²). (7.4 б)

На практике наиболее употребительна диметрическая проекция при k = 1/2. Подставляя эту величину в решение системы для коэффициентов искажения (7.4 а-б), получим:

(7.5)

Соответствующие значения углов ξ и φ равны :

ξ = arccos 2√2 / 3, φ = ½ arccos (3/4) . (7.6)

На Рис 7.1 показана диметрическая проекция при k=1/2 единичного куба, у которого одна из вершин совпадает с началом координат, а рёбра ориентированы вдоль осей.