12.Производная по направлению скалярного поля.

Определение

Производной скалярной функции U=f(x,y,z) по направлению вектора в точке M₀(x₀,y₀,z₀) называется предел, если он существует, отношения приращения ΔU₀ функции при смещении из точки M₀(x₀,y₀,z₀) в направлении вектора в точку M₁(x,y,z) к величине этого смещения когда ρ 0, то есть

Следовательно, характеризует скорость изменения величины U в точке M₀ в направлении вектора .

Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M.

Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀,y₀,z₀, cosα, cosβ, cosγ фиксированы, то U(M₁) есть функция только смещения ρ.

 Обозначим эту функцию

При ρ = 0 имеем ψ(0) =U(x₀,y₀,z₀)=U(M₀).

Следовательно:

 Т. е. получим формулу:

 выражающую производную от функции U = f(x,y,z) по направлению вектора

.

13.Градиент скалярного поля, его свойства

Пусть задано скалярное поле U=f(x,y,z).

Градиентом скалярного поля U=f(x,y,z) в точке M(x,y,z) называют вектор

 Если функция U=f(x,y,z) имеет частные производные U'_x, U'_y, U'_z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле .

Преобразуем формулу для вычисления производной по направлению: здесь

Угол между векторами и обозначим через φ , тогда скалярное произведение равно но .

Значит т. е. производная скалярной функции U=f(x,y,z) в точке M в направлении вектора равна проекции на направление вектора .

Из формулы (3.27) следует, что, когда направление вектора совпадает с направлением вектора , производная по направлению

имеет своё наибольшее значение, т. е. вектор , вычисленный в точке М, показывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, и скорость его возрастания равна В направлении, перпендикулярном направлению , как это следует из формулы (3.27), , т. е. в этом направлении из точки М поле не меняется. Вспомним, что, если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0, нормаль к поверхности в точке M₀(x₀,y₀,z₀) может быть задана уравнением: Теперь для скалярной функции U=f(x,y,z) построим поверхности уровня f(x,y,z)=C, тогда уравнение нормали к поверхности уровня в точке M₀(x₀,y₀,z₀) запишется: т.е. имеет направляющий вектор

Следовательно, вектор есть вектор, перпендикулярный поверхности уровня функции U=f(x,y,z).

**********************************

14.Векторное поле. Векторные линии векторного поля.

Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.

Определение

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Например, скорость движения частиц жидкости направлена по касательной к ее траектории, поэтому векторными линиями поля скоростей потока жидкости являются траектории ее частиц.

Пусть задано векторное поле тогда вектор коллинеарен вектору поля , ф

т. е. Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля

(рис. 3.17).

  Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками А = М₀, М₁, ..., М_i-1, М_i, ..., М_n = В.

Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности ожно считать, что на каждой элементарной дуге сила является постоянной и равна своему значению в некоторой точке N_i, находящейся на элементарной дуге.

 При этих предположениях элементарная работа ΔA_i, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги М_{i - 1} М_i, приближённо равна скалярному произведению .

Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой Обозначим через λ длину наибольшей из хорд .

Тогда Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид: и который называют линейным интегралом вектора (x,y,z)

вдоль линии L.

Криволинейный интеграл (3.32) или (3.33) по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля по контуру L и обозначают