4*. Нестаціонарний пуассоновский потік

Якщо потік подій нестаціонарний, то його основною характеристикою є миттєва густина . Миттєвою густиною потоку називається межа відношення середнього числа подій, що доводиться на елементарну ділянку часу до довжини цієї ділянки, коли остання прямує до нуля:

, (13)

де – математичне сподівання числа подій на ділянці .

Розглянемо потік однорідних подій, ординарний і без післядії, але не стаціонарний, із змінною густиною . Такий потік називається нестаціонарним пуассоновским потоком. Це – перший ступінь узагальнення в порівнянні з найпростішим потоком. Легко показати, що для такого потоку число подій, що потрапляють на проміжок довжини , що починається в точці , підкоряється закону Пуассона

, (14)

де – математичне сподівання числа подій на проміжку від до , дорівнює

. (15)

Тут величина залежить не тільки від довжини проміжку, але і від його положення на осі .

Знайдемо для нестаціонарного потоку закон розподілу проміжку часу між сусідніми подіями. Зважаючи на нестаціонарність потоку цей закон залежатиме від того, де на осі розташована перша з подій. Крім того, він залежатиме від виду функції . Припустимо, що перша з двох сусідніх подій з’явилася в момент , і знайдемо при цій умові закон розподілу часу між цією подією і подальшим:

Знайдемо – ймовірність того, що на ділянці від до не з’явиться жодної події:

звідки

(16)

Диференціюючи, знайдемо густину розподілу

. (17)

Цей закон розподілу вже не буде показовим. Вид його залежить від параметра і виду функції . Наприклад, при лінійній зміні

густина (17) має вигляд

. (18)

Графік цього закону при , і представлений на рис. 9.

Не дивлячись на те, що структура нестаціонарного пуасооновского потоку дещо складніша, ніж найпростішого, він дуже зручний в практичних застосуваннях: головна властивість найпростішого потоку – відсутність післядії – в ньому збережено. А саме, якщо ми зафіксуємо на осі довільну точку, то закон розподілу часу , що відділяє цю точку від найближчої за часом майбутньої події, не залежить від того, що відбувалося на проміжку часу, якій був попереднім , і в самій точці (тобто чи з’являлися раніше інші події і коли саме).

5*. Потік з обмеженою післядією (потік Пальма)

Ми познайомилися з природним узагальненням найпростішого потоку – з нестаціонарним пуассоновским потоком. Узагальненням найпростішого потоку в іншому напрямі є потік з обмеженою післядією.

Розглянемо ординарний потік однорідних подій (рис. 10). Цей потік називається потоком з обмеженою післядією (або потоком Пальма), якщо проміжки часу між послідовними подіями є незалежними випадковими величинами.

Очевидно, найпростіший потік є окремим випадком потоку Пальма: в ньому відстані є незалежними випадковими величинами, розподіленими по показовому закону. Що стосується нестаціонарного пуассоновского потоку, то він не є потоком Пальма. Дійсно, розглянемо два сусідні проміжки і в нестаціонарному пуассоновском потоці. Як ми бачили, закон розподілу проміжку між подіями в нестаціонарному потоці залежить від того, де цей проміжок починається, а початок проміжку співпадає з кінцем проміжку ; значить, довжини цих проміжків залежні.

Розглянемо приклади потоків Пальма.

1. Деяка деталь технічного пристрою (наприклад, радіолампа) працює неперервно до своєї відмови (виходу з ладу), після чого вона миттєво замінюється новою. Термін безвідмовної роботи деталі випадковий; окремі екземпляри виходять з ладу незалежно один від одного. За цих умов потік відмов (або потік «відновлень») є потоком Пальма. Якщо, до того ж, термін роботи деталі розподілений по показовому закону, то потік Пальма перетворюється на найпростіший.

2. Група літаків йде в бойовому порядку «колона» (рис. 11) з однаковою для всіх літаків швидкістю . Кожний літак, окрім ведучого, зобов’язаний витримувати лад, тобто триматися на заданій відстані від того хто йде попереду. Ця відстань, унаслідок погрішностей радіодалекоміра, витримується з помилками. Моменти перетину літаками заданого рубежу утворюють потік Пальма,

оскільки випадкові величини незалежні. Помітимо, що той же потік не буде потоком Пальма, якщо кожний з літаків прагне витримати задану відстань не від сусіда, а від ведучого.

Потоки Пальма часто виходять у вигляді вихідних потоків систем масового обслуговування. Якщо на яку-небудь систему поступає якийсь потік заявок, то він цією системою розділяється на два: потік обслужених і потік не обслужених заявок.

Потік не обслужених заявок часто поступає на яку-небудь іншу систему масового обслуговування, тому представляє інтерес вивчити його властивості.

Основний в теорії вихідних потоків є теорема Пальма, яку ми сформулюємо без доказу.

Хай на систему масового обслуговування поступає потік заявок типа Пальма, причому заявка, що застала всі канали зайнятими, дістає відмову (не обслуговується), Якщо при цьому час обслуговування має показовий закон розподілу, то потік не обслужених заявок є також потоком типа Пальма.

Зокрема, якщо вхідний потік заявок буде найпростішим, то потік не обслужених заявок, не будучи найпростішим, все ж таки матиме обмежену післядію.

Цікавим прикладом потоків з обмеженою післядією, є так звані потоки Ерланга. Вони утворюються «просіванням» найпростішого потоку.

Р озглянемо найпростіший потік (рис. 12) і викинемо з нього кожну другу точку (на рисунку викинуті точки відзначені хрестами). Точки, що залишилися, утворюють потік; цей потік називається потоком Ерланга першого порядку .

Очевидно, цей потік є потік Пальма: оскільки незалежні проміжки між подіями в найпростішому потоці, то незалежні і величини виходять підсумовуванням таких проміжків по два.

П отік Ерланга другого порядку вийде, якщо зберегти в найпростішому потоці кожну третю точку, а дві проміжні викинути (рис. 13).

Взагалі, потоком Ерланга -го порядку називається потік, одержуваний з найпростішого, якщо зберегти кожну -у точку, а інші викинути. Очевидно, найпростіший потік можна розглядати як потік Ерланга нульового порядку

Знайдемо закон розподілу проміжку часу між сусідніми подіями в потоці Ерланга -го порядку . Розглянемо на осі (рис. 14) найпростіший потік з інтервалами . Величина є сумою незалежних випадкових величин

(19)

де – незалежні випадкові величини, підлеглі одному і тому ж показовому закону

. (20)

Можна було б знайти закон розподілу величини як композицію законів (20). Проте простіше вивести його елементарними міркуваннями.

Позначимо густину розподілу величини для потоку ; є ймовірність того, що величина прийме значення між і (рис.14). Це означає, що остання точка проміжку повинна попасти на елементарну ділянку , а попередні точок найпростішого потоку – на проміжок . Ймовірність першої події дорівнює ; ймовірність другого, на основі формули (3), буде

.

Перемножуючи ці ймовірності, отримаємо

,

звідки

. (21)

Закон розподілу з густиною (21) називається законом Ерланга -го порядку. Очевидно, при він обертається в показовий

. (22)

Знайдемо характеристики закону Ерланга : математичне сподівання і дисперсію . По теоремі складання математичних сподівань

,

де – математичне сподівання проміжку між подіями в найпростішому потоці.

Звідси

. (23)

Аналогічно по теоремі складання дисперсій

(24)

Густина потоку буде зворотною величиною

(25)

Таким чином, при збільшенні порядку потоку Ерланга збільшуються як математичне сподівання, так і дисперсія проміжку часу між подіями, а густина потоку падає.

З’ясуємо, як змінюватиметься потік Ерланга при , якщо його густина зберігатиметься сталою? Пронормуємо величину так, щоб її математичне сподівання (і, отже, густина потоку) залишалося незмінним. Для цього змінимо масштаб по осі часу і замість розглянемо величину

. (26)

Назвемо такий потік нормованим потоком Ерланга -го порядку. Закон розподілу проміжку між подіями цього потоку буде

(27)

де , або

. (28)

Математичне сподівання величини розподіленої згідно із законом (28), не залежить від і дорівнює

,

де – густина потоку, співпадаюча при будь-кому з густиною початкового найпростішого потоку. Дисперсія величини дорівнює

(29)

і необмежено убуває із зростанням .

Таким чином, ми приходимо до висновку: при необмеженому збільшенні нормований потік Ерланга наближається до регулярного потоку з постійними інтервалами, рівними .

Ця властивість потоків Ерланга зручна в практичних застосуваннях: воно дає можливість, задаючись різними , отримати будь-який ступінь післядії: від повної відсутності до жорсткого функціонального зв’язку між моментами появи подій . Таким чином, порядок потоку Ерланга може служити як би «мірою післядії», що є в потоці. В цілях спрощення часто зручно замінити реальний потік заявок, що має післядію, нормованим потоком Ерланга з приблизно тими ж характеристиками проміжку між заявками: математичним очікуванням і дисперсією.

Приклад. В результаті статистичної обробки проміжків між заявками в потоці отримані оцінки для математичного сподівання і дисперсії величини :

, .

Замінити цей потік нормованим потоком Ерланга з тими ж характеристиками.

Розв’язання. Маємо

.

З формули (21) отримаємо

,

Потік можна приблизно замінити нормованим потоком Ерланга четвертого порядку.