35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є

Теорема (про збіжність інтеграла Фур’є в точці)

Нехай - абсолютно інтегрована на R, шматково-неперервна на скінченому інтервалі . Якщо вона задовольняє в т. умовам Діні , то її інтеграл Фур’є збігається в цій точці до .

Доведення

неперервна, вона інтегрована на скінченому відрізку ,

бо

стоїть в умові Діні, інтеграл прямує до 0.

, оскільки

, - абсолютно інтегровані . - теж абсолютно інтегровані. , =const.

Так як - залишок від інтегралу Діріхле . Інтеграл збігається, якщо залишок прямує до 0 (з означення збіжності інтеграла) . Теорему доведено.

Умови Діні виконуються для тих функцій, які задовольняють умовам Гьольдера: . Ці умови виконуються для функцій, які диференційовані скрізь і мають скінченні однобічні похідні.

(Функція не обов’язково є неперервно-диференційованою, але похідні справа і зліва існують).

Наслідок

Нехай - неперервно- і абсолютно інтегрована .Якщо в кожній точці функція f диференційована або має скінченні однобічні похідні, або задовольняє умові Гьольдера то вона може бути представлена своїм інтегралом Фурьє. .

36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.

Перетворенням Лапласа називається функція комплексної змінної

(*). Якщо - інтегрована на кожному скінченому проміжку, то цей інтеграл збігається.Інтеграл збігається для функцій-оригіналів.

Оригіналом називається функція змінної t , що задовольняє:

1) - неперервна, або кусково-неперервна на кожному скінченому проміжку.

2) Обмежена на порядок росту на нескінченності.

3)

Число називається порядком росту функції .

Зображенням функції оригінала називається перетворення Лапласа цієї функції

. Позначається . - оригінал. - зображення.

Теорема

Якщо - оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа збігається рівномірно в півплощині і є аналітичною функцією в цій півплощині.

1)Доведемо, що цей інтеграл збігається .Це пов”язано з пунктом 2). Застосовуємо умову Вейєрштраса. Оскільки , то при маємо:

Інтеграл від більшого збігається, тому збігається і від меншого

2) Рівномірна неперервність

Розглянемо область . Нехай . Розглянемо область . як завгодно малих.

Рівномірно збігається на відкритій множині збігається на будь-якій замкненій множині, що належить цій відкритій множині.

Розглянемо внутрішню, заштриховану частину кута.

Тоді маємо збігається.Розглянемо залишок . Інтеграл Лапласа збігається для всіх виконується ( з означення збіжності інтеграла). - має похідну (інтеграл - це диференційована функція)

Ця нерівність виконується і для всіх р з внутрішньої частини кута.

обираємо

(область) таке, що для всіх

збіжність рівномірна збігається рівномірно на

3) Аналітичність

Якщо - оригінал , то - теж оригінал . Порядок росту не змінюється при множенні на , похідна існує, отже, функція аналітична.

Теорема

Якщо - зображення функції з показником росту , то

Доведення В півплощині виконується якщо модуль прямує до нуля, то і вся функція прямує до нуля. Оскільки аналітична на , то це означає, що Якщо аналітична, то інтеграл не залежить від щляху інтегрування, а лише від початкової і кінцевої точок.

Наслідок

, або не можуть бути зображеннями, оскільки , тобто не виконується необхідна умова.