44. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем

Для консервативной системы обобщенные силы определяются через потенциальную энергию П системы по формуле

, .

Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде

, . (3.47.1)

Т.к. потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т.е. , то . С учетом этого представим выражение (3.47.1) в виде

, ,

где – функция Лагранжа (кинетический потенциал).

Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы

, .

45. Понятие об устойчивости равновесия консервативной системы

Для равновесия консервативных систем необходимо чтобы

, .

Положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

У стойчивое положение равновесия – положение равновесия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.

Это движение будет обладать той или иной степенью повторяемости во времени, т.е. система будет совершать колебательное движение.

Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Н еустойчивое положение равновесия – положение равновесия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.

Б езразличное положение равновесия – положение равновесия, когда при любом малом начальном отклонении точек системы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии.

Критерием устойчивого положения равновесия системы является

, (3.48.1)

где – значение обобщенной координаты, удовлетворяющее данному условию.

Выражение (3.48.1) носит название критерия Лагранжа-Дирихле устойчивости положения равновесия механической системы в консервативном поле.

46. Понятие о малых колебаниях механической системы

Механическая система может совершать колебания только вблизи устойчивого положения равновесия при действии на нее консервативных сил. В этом положении обобщенная координата , .

Система с одной степенью свободы в случае стационарных, голономных, идеальных, неосвобождающих связей имеет одну обобщенную координату , и ее движение описывается одним уравнением Лагранжа:

. (3.49.1)

Колебания считаются малыми, если при движении системы обобщенная координата , скорость и ускорение достаточно малы и в уравнении Лагранжа (3.49.1) можно пренебречь всеми членами второго и более высокого порядков малости относительно , и , т.е. слагаемыми, в которые входят квадраты этих величин или их произведения. Поэтому такие колебания называются линейными.

Кроме этого, в случае малых колебаний функции , , или иногда при вычислении потенциальной энергии принимают .