28 .Бесконечно малые функции. Эквивалентность бесконечно малых функций. Бесконечно малые ф-ции

Функция α (x) называется бесконечно малой при х->а , если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при х->а.

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

Если , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);

Если , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при х->а.

При вычислении предела отношения двух бесконечно малых функций мы можем заменить эти функции их эквивалентными выражениями.

Эквивалентность бесконечно малых функций

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α~ß.

Теорема 1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Теорема 3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

29. Односторонние пределы.

Определение1: Если ф-ция, стремящаяся к lim при условии, что x стремится к и x< , то -левосторонний предел ф-ции f(x).

- левосторонний предел f(x).

Если ф-ция стремится к lim и x стремится к , x> , то -правосторонний предел ф-ции.

- правосторонний предел f(x).

Левосторонний и правосторонний lim называются односторонними. Они определяются при ограничении на стремление к только слева или справа.

Если f(x) имеет предел в (.) , то она так же имеет односторонние пределы в этой точке:

30. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.

Ф-ция f(x) непрерывна в (.) , если она определена в этой точке и имеет предел при .

Свойства непрерывных ф-ций:

1. Ф-ция, непрерывная в(.), является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

2. Если f(x) и g(x) непрерывны в(.) , то непрерывными являются ф-ции f(x) g(x), f(x)*g(x), (g(x) )

3. Если f(x) непрерывна в(.) и f(x)>g(x), то есть некоторая окрестность в (.) и f( ) >0(<0), то есть окрестность (.) , в которой ф-ция f(x) >0 (<0).

4. Если ф-ция f(x) непрерывна в(.) , y=g(x), а f(y) непрерывна в(.) , где - значение g( ), то f(g(x)) непрерывна в(.) .

5. Если f(x) и g(x) непрерывны в (.) и f( )>g( ), то есть некоторая окрестность в (.) , в которой значение f(x)>, чем g(x).

6. Если для сложной ф-ции выполняется условие 4,то .